Résumé : Une variété projective complexe est de cohomogénéité 1 si elle admet une action d’un groupe de Lie compact avec au moins une orbite de codimension réelle égale à 1. Je donnerai une caractérisation combinatoire simple de l’existence de métriques Kähler à courbure scalaire constante sur ces variétés. Ce résultat fournit par ailleurs une solution à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour ces variétés, et fait appel à une traduction en géométrie convexe de la K-stabilité des variétés projectives sphériques, que je présenterai également.

Notes de dernières minutes : Exposé sur Zoom

Résumé : Une variété projective complexe est de cohomogénéité 1 si elle admet une action d’un groupe de Lie compact avec au moins une orbite de codimension réelle égale à 1. Je donnerai une caractérisation combinatoire simple de l’existence de métriques Kähler à courbure scalaire constante sur ces variétés. Ce résultat fournit par ailleurs une solution à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour ces variétés, et fait appel à une traduction en géométrie convexe de la K-stabilité des variétés projectives sphériques, que je présenterai également.

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Résumé : La quantification de Berezin-Toeplitz permet d’associer, à des fonctions sur des variétés kahleriennes, des opérateurs auto-adjoints sur des espaces de Hilbert, avec un paramètre semiclassique. Quand la variété est R^2n=C^n, on retrouve les opérateurs pseudodifférentiels (par la transformée de Bargmann ou de FBI), et les opérateurs de Toeplitz admettent comme autre classe d’exemples importants les opérateurs de spins (quand la variété est S2 ou une puissance cartesienne (S2)^n ) qui décrivent l’interaction d’un matériau avec un champ magnétique.
Dans cet exposé, je présenterai les opérateurs de Toeplitz et leur ingrédient géométrique principal, le noyau de Szegö, avec comme motivation principale un exemple concret de système de spins dont le comportement est exotique. Je décrirai ensuite les techniques semiclassiques qu’on développe et qu’on utilise pour étudier la localisation des fonctions propres en quantification de Toeplitz.

Résumé : L’inégalité de Smith-Thom nous dit que la somme des nombres de Betti des points réels d’une variété algébrique réelle est toujours inférieure ou égale à la somme des nombres de Betti de ses points complexes. Dans le cas de l’égalité, la variété algébrique réelle est appelée maximale. Etant donné un fibré en droites holomorphes réel L au dessus d’une variété algébrique réelle X, je vais prouver que la probabilité qu’une section holomorphe réelle de L^d définisse une hypersurface maximale tend vers 0 exponentiellement vite lorsque d tend vers l’infini.