Résumé : In this joint work with M. Gubinelli, T. Oh and L. Tolomeo we study global-in-time dynamics of the additive space-time noise forcing. We provide two arguments :
1) Combining the I-method in a stochastic setting with a Gronwall-type argument we prove a.s. global well-posedness for the renormalized defocusing cubic Nonlinear Wave equation.
2) Via an invariant measure argument we prove a.s. global wellposedness for the damped renormalized Nonlinear Wave Equation.

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Résumé : Les réseaux de neurones artificiels sont des familles paramétrées de fonctions de prédiction, utiles dans de nombreuses tâches en apprentissage automatique (classification, régression, modèles génératifs, etc). Pour une tâche d’apprentissage donnée, les paramètres du réseau sont ajustés à l’aide d’un algorithme de descente de gradient, de sorte que le prédicteur correspondant atteigne une bonne performance sur un jeu de données d’entraînement. Dans cet exposé, on présentera une analyse de cet algorithme pour les réseaux de neurones larges à deux couches en apprentissage supervisé, qui aboutit à une caractérisation précise du prédicteur appris.
L’idée maîtresse consiste à étudier la dynamique d’entraînement en temps continu lorsque la taille du réseau de neurones tend vers l’infini : cet objet limite est un flot de gradient dans l’espace de Wasserstein. Bien que la fonction objectif ne soit pas géodésiquement convexe, on montre que pour une initialisation adéquate, la limite de ce flot de gradient (si elle existe) est un minimiseur global. Nous étudierons aussi la « régularisation implicite » de cet algorithme quand l’objectif d’entraînement est la fonction de perte logistique sans régularisation : parmi la multitude de minimiseurs globaux, l’algorithme en choisit un en particulier, qui s’avère être un classifieur de type « marge maximale ». Enfin, nous discuterons des conséquences de ces résultats sur les performances statistiques de ces modèles en grande dimension. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Francis Bach.

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Résumé : Dans cet exposé je présenterai les motivations de l’étude, la construction de la méthode numérique et des éléments de l’analyse de sa convergence, ainsi qu’une première stratégie de résolution du problème inverse et des résultats de reconstructions en deux dimensions.

Résumé : The lake equations arise as a geophysical two-dimensional model for the evolution of a fluid in a lake characterised by the geometry of its surface and its depth. Motivated by physical phenomena such as flooding, sedimentation and seismic activity, we investigate the stability of these equations under changes of both the geometry and the topography. More precisely, we first consider the singular limit for an evanescent island, namely an island shrinking to a point where the depth function vanishes. Second, we discuss the scenario of an emergent island. We obtain an asymptotic equation for both cases. In the former, a point vortex located at the point to which the island has collapsed is created. While the lake equations reduce to the two-dimensional incompressible Euler equations for a flat topography (constant depth), the lake equations are degenerate if the depth function vanishes at the boundary (beaches) or in the interior of the domain. We provide new uniform estimates in weighted spaces for the related stream functions that enable us to prove the compactness result.
This is joint work with Christophe Lacave and Evelyne Miot.