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Résumé : Dans cet exposé, on s’intéressera à l’existence et aux propriétés
d’ondes progressives dans l’équation de Gross-Pitaevskii, une équation
de Schrödinger non linéaire avec une condition non triviale à l’infini.
Je rappellerai d’abord des résultats précédents sur cette équation,
notamment d’existence d’ondes par des méthodes variationnelles, ainsi
que des propriétés qualitatives. Je présenterai ensuite de nouveaux
résultats (obtenus en collaboration avec David Chiron), en particulier
la construction d’une branche (dérivable par rapport à la vitesse) par
une méthode perturbative pour petites vitesses, ainsi que des résultats
de coercivité et d’unicité sur cette branche.

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Résumé : Les lois de Weyl permettent de décrire la répartition du spectre de certains opérateurs de Schrödinger à haute énergie. Dans cet exposé, je vais expliquer comment étendre ces lois en présence d’un potentiel possédant de fortes singularités, à l’aide d’une approche dûe à Avakumovic basée sur des théorèmes taubériens. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Rupert Frank (Caltech/Munich).

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Résumé : Déterminer les structures minimisantes pour des énergies d’interactions de paires fait partie des problèmes dits de « cristallisation » les plus difficiles à résoudre. Le but de cet exposé est de présenter des résultats récents d’optimalités de certaines structures parmi des réseaux et des charges, obtenus avec Markus Faulhuber (Université de Vienne) et Hans Knüpfer (Université de Heidelberg). L’objet central de ces travaux est le noyau de la chaleur associé à un réseau, aussi appelé « fonction thêta du réseau ». Différents liens seront faits entre des énergies d’interactions et ces fonctions thêta afin d’étudier les problèmes suivants :

• la Conjecture de Born : comment placer des charges sur un réseau fixé afin de minimiser l’énergie Coulombienne associée ? Dans le cas d’un réseau cubique, Max Born conjectura en 1921 que l’alternance de charges +1 et -1 (i.e. le sel NaCl) était optimale. La résolution de cette conjecture, obtenue avec Hans Knüpfer, sera brièvement discutée ainsi que ses généralisations.
• la stabilité de la structure NaCl : donner des conditions sur des potentiels d’interactions pour lesquelles la structure NaCl est minimale. Différents résultats à la fois théoriques et numériques, obtenus avec Markus Faulhuber et Hans Knüpfer, seront présentés.
• l’optimalité universelle du réseau triangulaire avec des charges alternées : comme nous l’avons montré avec Markus Faulhuber, il s’avère que cette structure triangulaire alternée est maximale parmi les réseaux à densité fixée à toutes les échelles pour la fonction thêta, donnant lieu à une nouvelle universalité optimale potentiellement généralisable à toutes les structures périodiques.