Prochainement

Mardi 20 octobre 14:00-15:15 Jean-François Dat (IMJ)
Espace de modules de paramètres de Langlands locaux

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Les paramètres de Langlands classiques sont des 1-cocycles « l-adiquement continus » de groupes de Galois de corps globaux ou locaux à valeurs dans les Q_l-points d’un groupe réductif. Construire un espace de modules de tels paramètres demande de définir une notion convenable de famille algébrique de 1-cocycles « l-adiquement continus ». Dans le cas local, et tant qu’on reste sur Q_l, on peut contourner le problème en utilisant le théorème de monodromie potentiellement unipotente de Grothendieck. Mais dès que l’on veut travailler sur Z_l, cette approche ne fournit pas de bons espaces de modules (notamment, les complétés en les points de la fibre spéciale ne redonnent pas les espaces de déformation utilisés en arithmétique). Nous présenterons une construction d’un espace de module défini sur Z[1/p] (où p est la caractéristique résiduelle du corps local considéré) et qui fournit, après tensorisation par Z_l, l différent de p, une famille algébrique universelle de 1-cocycles l-adiquement continus. Cet espace est plat, localement intersection complète, et génériquement lisse sur Z[1/p]. Nous paramétrerons ses composantes connexes, ainsi que les composantes connexes des changements de base à chaque Z_l. Nous décrirons aussi les quotient GIT des fibres géométriques à homéomorphisme près. Cette description va en direction de la conjecture principale que nous formulons sur ce quotient GIT, à savoir qu’il devrait être isomorphe à la partie stable du centre de Bernstein du groupe p-adique dual (travail en commun avec Helm, Kurinczuk et Moss).

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Mardi 3 novembre 14:00-15:15 Jean-Louis Colliot-Thélène (IMO)
Sur la conjecture de Tate entière pour les 1-cycles pour le produit d’une courbe et d’une surface

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Résumé : Pour toute variété X projective et lisse sur un corps fini, c’est
une question ouverte si une forme forte de la conjecture de Tate à
coefficients entiers l-adiques vaut pour les cycles de dimension 1. Pour
X une surface, c’est équivalent à la conjecture de Tate usuelle. Pour
X de dimension 3, la question est liée à la nullité éventuelle du
troisième groupe de cohomologie non ramifiée, analogue supérieur du
groupe de Brauer. Les résultats à ce sujet (travaux avec Bruno Kahn)
seront rappelés.
Dans un travail récent avec Federico Scavia, motivés par des
contre-exemples récents à la conjecture de Hodge entière pour de tels
produits, nous avons étudié le cas des variétés X de dimension 3 de la
forme C x S, avec C une courbe et S une surface géométriquement
CH_0-triviale, par exemple une surface d’Enriques. J’exposerai les
résultats et les méthodes.

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Mardi 10 novembre 14:00-15:15 Abhishek Saha (Queen Mary University of London)
Critical L-values and congruence primes for Siegel modular forms

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : I will explain some recent joint work with Pitale and
Schmidt where we obtain an explicit integral representation for the
L-function on GSp_2n \times GL_1 associated to a
holomorphic vector-valued Siegel cusp form of degree n and arbitrary
level, and a Dirichlet character. By combining this integral
representation with a detailed arithmetic study of nearly holomorphic
Siegel cusp forms (joint with Pitale, Schmidt, and Horinaga) we are
able to prove an algebraicity result for the critical L-values on
GSp_2n \times GL_1. To refine this result further, we prove that the
pullback of the nearly holomorphic Eisenstein series that appears in
our integral representation is actually cuspidal in each variable and
has nice p-adic arithmetic properties. This leads to a result
on congruences between Hecke eigenvalues of two Siegel cusp forms of
degree 2 modulo primes dividing a certain quotient of L-values.

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Mardi 17 novembre 14:00-15:15 Simon Riche (Université Clermont Auvergne)
Equivalence de Satake géométrique et théorie de Smith-Treumann

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Il est bien connu depuis le début des années 2000 que l’équivalence de Satake géométrique est vraie pour des coefficients quelconques, et permet donc en particulier de réaliser la catégorie des représentations d’un groupe réductif connexe sur un corps algébriquement clos k de caractéristique positive comme une catégorie de faisceaux pervers (à coefficients dans k) sur la Grassmannienne affine du groupe dual. Par contre, utiliser cette équivalence pour étudier la théorie des représentations de ces groupes s’avère difficile. Dans cet exposé je présenterai des résultats récents obtenus avec Geordie Williamson qui permettent des avancées dans cette direction. En particulier nous obtenons une preuve géométrique du « principe de linkage » (décomposition de la catégorie des représentations en « blocs » paramétrés par des orbites du groupe de Weyl affine), et une formule de caractères pour les modules basculants dans tous les blocs, en toute caractéristique. Notre outil principal est la théorie de « localisation » de Smith, telle que réinterprétée récemment par Treumann.

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Mardi 24 novembre 14:00-15:15 Cédric Pépin (Université Paris 13)
Vers une théorie de Kazhdan-Lusztig pour les algèbres de Hecke mod p

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : Soient F un corps local, G un groupe réductif connexe déployé
sur F et H l’algèbre de Hecke de G(F) associée à un sous-groupe de
Iwahori, à coefficients dans le corps C des nombres complexes. Soit
d’autre part \hatG le dual de Langlands de G sur C. Kazhdan et Lusztig
ont montré que les H-modules simples pouvaient être réalisés en famille,
dans le groupe de Grothendieck des fibrés vectoriels équivariants sur la
variété de drapeaux de \hatG, et que cette famille vivait au-dessus
d’un espace de paramètres de Langlands modérés. Dans un travail en
commun avec Tobias Schmidt, nous cherchons un analogue de cette théorie
lorsque le corps C des coefficients est remplacé par une clôture
algébrique du corps résiduel de F. On arrive pour l’instant à une
réponse assez complète lorsque G=GL_2.

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Passés

Mardi 20 octobre 14:00-15:15 Jean-François Dat  (IMJ)
Espace de modules de paramètres de Langlands locaux

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Les paramètres de Langlands classiques sont des 1-cocycles « l-adiquement continus » de groupes de Galois de corps globaux ou locaux à valeurs dans les Q_l-points d’un groupe réductif. Construire un espace de modules de tels paramètres demande de définir une notion convenable de famille algébrique de 1-cocycles « l-adiquement continus ». Dans le cas local, et tant qu’on reste sur Q_l, on peut contourner le problème en utilisant le théorème de monodromie potentiellement unipotente de Grothendieck. Mais dès que l’on veut travailler sur Z_l, cette approche ne fournit pas de bons espaces de modules (notamment, les complétés en les points de la fibre spéciale ne redonnent pas les espaces de déformation utilisés en arithmétique). Nous présenterons une construction d’un espace de module défini sur Z[1/p] (où p est la caractéristique résiduelle du corps local considéré) et qui fournit, après tensorisation par Z_l, l différent de p, une famille algébrique universelle de 1-cocycles l-adiquement continus. Cet espace est plat, localement intersection complète, et génériquement lisse sur Z[1/p]. Nous paramétrerons ses composantes connexes, ainsi que les composantes connexes des changements de base à chaque Z_l. Nous décrirons aussi les quotient GIT des fibres géométriques à homéomorphisme près. Cette description va en direction de la conjecture principale que nous formulons sur ce quotient GIT, à savoir qu’il devrait être isomorphe à la partie stable du centre de Bernstein du groupe p-adique dual (travail en commun avec Helm, Kurinczuk et Moss).

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Mardi 13 octobre 14:00-15:15 Florent Jouve  (Université de Bordeaux )
Disparités de répartition pour les automorphismes de Frobenius

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Étant donnée une extension galoisienne de corps de nombres L/K, le théorème de Chebotarev affirme l’équirépartition des éléments de Frobenius, relatifs aux idéaux premiers non ramifiés, dans les classes de conjugaison de Gal(L/K). On présentera une étude portant sur les variations du terme d’erreur dans le théorème de Chebotarev, lorsque L/K parcourt certaines familles d’extensions. On donnera une formule de transfert pour les fonctions classiques de décompte des nombres (ou idéaux) premiers permettant de ramener la situation à celle d’une extension des rationnels. On exposera enfin quelques conséquences à des problèmes de “type Linnik” sur la norme minimale des idéaux premiers dans un ensemble de Frobenius donné. L’exposé porte sur un travail commun avec D. Fiorilli

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Mardi 6 octobre 17:00-18:15 Anne Lonjou  (IMO)
Actions des groupes de Cremona sur des complexes cubiques CAT(0)

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : À toute variété algébrique nous pouvons associer son groupe des transformations birationnelles. Un des cas les plus intéressants est lorsque la variété considérée est l’espace projectif de dimension n. Dans ce cas, ce groupe est appelé groupe de Cremona de rang n. Le groupe de Cremona de rang 2 est maintenant assez bien compris bien que ce soit un groupe compliqué. Un des outils clés pour l’étudier est son action sur un espace hyperbolique. Malheureusement, en rang supérieur une telle action n’est pas à notre disposition. Récemment en théorie géométrique des groupes, les actions sur des complexes cubiques CAT(0) se sont avérées être un outil important pour étudier une large classe de groupes.
Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Christian Urech, nous construirons de tels complexes sur lesquels les groupes de Cremona agissent. Nous verrons ensuite quels résultats nous pouvons ainsi obtenir sur ces groupes.

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Mardi 6 octobre 15:30-16:45 Pierrick Bousseau  (IMO)
Positivité pour l’algèbre skein de la sphère privée de 4 points

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : L’algèbre skein d’une surface topologique est construite à partir des noeuds et entrelacs dans la variété de dimension 3 obtenue en prenant le produit de la surface avec un intervalle. Une conjecture due à Dylan Thurston prédit la positivité des constantes de structure d’une certaine base de l’algèbre skein. Je présenterai une preuve récente de cette conjecture pour l’algèbre skein de la sphère privée de 4 points. De manière un peu surprenante, cette preuve d’un résultat topologique fait appel à la géométrie algébrique complexe, et en particulier à l’étude des courbes algébriques dans les surfaces cubiques complexes.

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Mardi 6 octobre 14:00-15:15 Anne Moreau  (IMO)
Tranches de Slodowy nilpotentes et isomorphismes entre W-algèbres

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : Les W-algèbres sont certaines algèbres vertex associées aux éléments nilpotents d’une algèbre de Lie simple. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la géométrie des tranches de Slodowy nilpotentes permet de détecter des isomorphismes non-triviaux entre W-algèbres. Il s’agit d’un travail en cours et en commun avec Tomoyuki Arakawa et Jethro Van Ekeren.

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Tranches de Slodowy nilpotentes et isomorphismes entre W-algèbres  Version PDF

Mardi 29 septembre 14:00-15:15 Gerard Freixas i Montplet  (IMJ)
Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : La symétrie miroir à la Candelas-de la Ossa-Green-Parkes prédit une correspondance entre les invariants de Gromov–Witten de genre 0 d’une variété de Calabi–Yau, et un invariant extrait de la variation de structures de Hodge d’une famille de variétés de Calabi-Yau miroirs (accouplement de Yukawa). Pour le comptage de courbes de genre 1, une conjecture de Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV) propose que l’analogue de l’accouplement de Yukawa serait un invariant compliqué de nature spectrale, appelé invariant BCOV. L’invariant BCOV est essentiellement une combinaison de torsions analytiques holomorphes. À son tour, la torsion analytique holomorphe est un ingrédient distinctif de la formule de Grothendieck-Riemann-Roch (GRR) en géométrie d’Arakelov.
Dans un travail en commun avec D. Eriksson et C. Mourougane, nous proposons un raffinement de la conjecture de BCOV de nature algébrique, dont la formulation ne fait donc pas appel à la torsion analytique holomorphe. Elle est ainsi plus proche à la formulation de la symétrie miroir en genre 0. Dans notre interprétation, la série génératrice des invariants de Gromov-Witten de genre 1 d’une variété de Calabi-Yau devient l’expression locale d’un isomorphisme de GRR, entre certains fibrés en droites extrait des fibrés de Hodge d’une famille miroir. L’invariant BCOV est alors la norme de cet isomorphisme pour les normes de Hodge. Nous démontrons la conjecture pour le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau dans P^n. La preuve utilise tout de même la torsion analytique holomorphe, en ce qu’elle repose sur la formule de GRR en géométrie d’Arakelov. On se sert de manière fondamentale des travaux de Zinger sur les séries génératrices des invariants de Gromov-Witten de genre 1. Nos résultats améliorent et généralisent un théorème de Fang–Lu–Yoshikawa en dimension 3, et fournissent les premiers exemples complets de symétrie miroir en genre 1 et dimension quelconque.

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Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1  Version PDF

Mardi 22 septembre 14:00-15:15 Tony Yue Yu  (IMO)
Secondary fan, theta functions and moduli of Calabi-Yau pairs

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : We conjecture that any connected component Q of the moduli space of triples (X, E=E_1+...+E_n, Theta) where X is a smooth projective variety, E is a normal crossing anti-canonical divisor with a 0-stratum, every E is smooth, and Theta is an ample divisor not containing any 0-stratum of E, is *unirational*. More precisely : note that Q has a natural embedding into the Kollár-Shepherd-Barron-Alexeev moduli space of stable pairs, we conjecture that its closure admits a finite cover by a complete toric variety. We construct the associated complete toric fan, generalizing the Gelfand-Kapranov-Zelevinski secondary fan for reflexive polytopes. Inspired by mirror symmetry, we speculate a synthetic construction of the universal family over this toric variety, as the Proj of a sheaf of graded algebras with a canonical basis, whose structure constants are given by counts of non-archimedean analytic disks. In the Fano case and under the assumption that the mirror contains a Zariski open torus, we construct the conjectural universal family, generalizing the families of Kapranov-Sturmfels-Zelevinski and Alexeev in the toric case. In the case of del Pezzo surfaces with an anti-canonical cycle of (-1)-curves, we prove the full conjecture. The reference is arXiv:2008.02299 joint with Hacking and Keel.

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Mardi 15 septembre 13:00-18:00 doctorants de deuxième année de l'équipe AGA  (IMO)
Après-midi des doctorants deuxième année (en présentiel avec masque)

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : En présentiel avec masque

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