Prochainement

Mardi 22 juin 14:00-15:15 Lillian Pierce (Université Duke)
Counting problems : open questions in number theory, from the perspective of moments

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Many questions in number theory can be phrased as counting problems. How many number fields are there ? How many elliptic curves are there ? How many integral solutions to this system of Diophantine equations are there ? If the answer is “infinitely many,” we want to understand the order of growth for the number of objects we are counting in the “family." But in many settings we are also interested in finer-grained questions, like : how many number fields are there, with fixed degree and fixed discriminant ? We know the answer is “finitely many,” but it would have important consequences if we could show the answer is always “very few indeed.” In this talk, we will describe a way that these finer-grained questions can be related to the bigger infinite-family questions. Then we will use this perspective to survey interconnections between several big open conjectures in number theory, related in particular to class groups and number fields.

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Mardi 29 juin 14:00-15:15 Gaëtan Chenevier (DMA)
« Chasse aux réseaux unimodulaires »

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : Un réseau unimodulaire de rang n est la donnée d’un Z-module
libre de rang n muni d’une forme bilinéaire symétrique de déterminant 1
et définie positive. Dans cet exposé, j’expliquerai une méthode
statistique utilisant des voisinages au sens de Kneser qui m’a permis de
classifier ces objets à isomorphisme près pour tout n<=28. Le cas de la
dimension n<=25 était connu (Witt, Kneser, Niemeier, Conway-Sloane,
Borcherds). Pour n=28, c’est un travail en commun avec Bill Allombert.

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Mardi 29 juin 15:30-16:45 François Charles (IMO)
Faisceaux quasi-cohérents hermitiens sur une courbe arithmétique

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : On décrira un analogue de la théorie des faisceaux quasi-cohérents sur une courbe arithmétique, en introduisant des invariants numériques associés aux réseaux euclidiens de rang infini. On donnera une application à des théorèmes d’approximations des fonctions holomorphes sur certaines variétés arithmétiques par des polynômes à coefficients entiers. C’est un travail en commun avec Jean-Benoît Bost.

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Passés

Mardi 15 juin 14:00-15:15 Victoria Hoskins  (Université Radboud de Nimègue)
Motives of stacks of vector bundles on a curve and applications

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : In joint work with Simon Pepin Lehalleur, we prove a formula for the
motive of the moduli stack of vector bundles on a smooth projective
curve in Voevodsky’s triangulated category of motives with rational
coefficients. After stating some key properties of this category and
explaining how to define the motive of this stack, I will outline our
proof, which involves rigidifying this stack using Flag-Quot schemes
parametrising Hecke modifications as well as a motivic version of an
argument of Laumon and Heinloth on the relative cohomology of small
maps. We then use this result to study the motive of moduli spaces of
semistable Higgs bundles, by using Hitchin’s scaling action together
with variation of stability for moduli stacks of chains.

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Mardi 8 juin 14:00-15:15 Andrea Fanelli  (Institut de Mathématiques de Bordeaux)
Rational simple connectedness and Fano threefolds

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : The notion of rational simple connectedness can be seen as an algebro-geometric analogue of simple connectedness in topology. The work of de Jong, He and Starr has already produced several recent studies to understand this notion.
In this talk I will discuss the joint project with Laurent Gruson and Nicolas Perrin to study rational simple connectedness for Fano threefolds via explicit methods from birational geometry.

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Mardi 25 mai 14:00-15:15 Ana Caraiani  (Imperial College London)
Local-global compatibility in the crystalline case

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Let F be a CM field. Scholze constructed Galois representations associated to classes in the cohomology of locally symmetric spaces for GL_n/F with p-torsion coefficients. These Galois representations are expected to satisfy local-global compatibility at primes above p. Even the precise formulation of this property is subtle in general, and uses Kisin’s potentially semistable deformation rings. However, this property is crucial for proving modularity lifting theorems. I will discuss joint work with J. Newton, where we establish local-global compatibility in the crystalline case under mild technical assumptions. This relies on a new idea of using P-ordinary parts, and improves on earlier results obtained in joint work with P. Allen, F. Calegari, T. Gee, D. Helm, B. Le Hung, J. Newton, P. Scholze, R. Taylor, and J. Thorne in certain Fontaine-Laffaille cases.

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Mardi 18 mai 14:00-15:15 Boris Pioline  (LPTHE (Paris 6))
Attractor invariants for local Calabi-Yau threefolds

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : The Donaldson-Thomas invariants $\Omega(\gamma,z)$ associated to
the bounded derived category of coherent sheaves $D(X)$
on a Calabi-Yau threefold $X$ are the mathematical incarnation of the
indices counting supersymmetric (or BPS) states in string theory
compactified on $X$. They depend on the Chern vector $\gamma$ and exhibit
discontinuities as the Kahler moduli $z$ are varied. The attractor
invariants $\Omega_\star(\gamma)$ are special instances of $\Omega(\gamma,z)$ where
$z$ corresponds to the self-stability (or attractor) condition.
When $X$ is a crepant resolution of a toric singularity,
$\Omega(\gamma,z)$ can be computed by using the equivalence between $D(X)$
and the category $D(Q)$ of representations of a quiver with potential. For
such $X$ ,I will present evidence for the « Attractor conjecture », which
states that the attractor invariants are essentially (but not completely) trivial. Using
the attractor flow tree formulae, this conjecture determines
the full set of DT invariants for any $\gamma$ and $z$. When $X$ is the
canonical bundle over a Fano surface $S$, I will argue that suitable
generating series of DT invariants in the anti-attractor chamber must
exhibit mock modular properties.

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Mardi 11 mai 14:00-15:15 Henri Darmon  (Université McGill)
Autour de la philosophie de Perrin-Riou

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : A la fin du siècle dernier, Bernadette Perrin-Riou propose de réaliser les fonctions L p-adiques comme l’image de systèmes compatibles de classes de cohomologie par une application exponentielle duale ’’en famille’’, ce qui généralise et systématise un certain nombre de constructions déjà dans la litérature, notamment :
(1) la construction de la fonction L p-adique de Katz à travers les séries de Coleman associées à des systèmes compatibles d’unités elliptiques, et (2) la construction par Kato de la fonction L p-adique de Mazur-Swinnerton-Dyer d’une courbe elliptique comme l’image d’une famille de classes de cohomologie provenant des éléments de Beilinson dans le K_2 d’une tour de courbes modulaires. Le point de vue proposé par Perrin Riou s’est avéré influent et a mené à de grands progrès dans la théorie des systèmes d’Euler et leurs applications aux conjectures de Beilinson-Bloch et Bloch-Kato p-adiques. Cet exposé se penchera sur un petit aspect de ce vaste terrain d’activité, correspondant au cas des fonctions L associées aux formes automorphes sur le produit de groupes orthogonaux de dimension 3 et 4, et leurs applications à la construction de points rationnels sur les courbes elliptiques et au corps de classe explicite.

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