Prochainement

Lundi 24 février 16:00-17:00 Dominique Picard (Université de Paris )
Comment estimer une densité de probabilité sur une toile d’araignée ?

Résumé : Dans cet exposé on va étudier le problème de l’estimation de densité. En
d’autres termes, on observe X1, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées, définies sur un espace M et on se propose de trouver
une bonne estimation de leur densité commune.
Ce problème a une longue histoire en statistique mathématique. La difficulté ici
réside dans le fait que nous allons considérer des espaces M assez généraux comme
des variétés Riemanniennes, des espaces de matrices, des graphes ou encore des...
toiles d’araignées.
On peut prouver que sous certaines hypothèses sur ces espaces (qui permettent
néanmoins une assez grande généralité) on peut bâtir une théorie de l’estimation,
définir des conditions de régularité, et quasiment construire une théorie minimax
comme on peut le faire dans R^d , avec des vitesses de convergence qui peuvent
ressembler aux vitesses habituelles.
En particulier on peut construire des méthodes de type noyaux, même dans
des espaces où par exemple l’addition n’a pas de sens.
Si on veut résumer le type d’hypothèses qu’on est amené à faire, disons simplement que certaines sont directement liées à une notion de ’dimension’ sur l’espace,
d’autres s’emploient à construire un environnement où des espaces de régularité
et d’approximation ont un sens.
Ces conditions permettent de développer un calcul fonctionnel ainsi que des
noyaux bien localisés, mais se révèlent suffisamment générales pour englober des
exemples comme la sphère, SU(2), les variétés Riemanniennes compactes....

Comment estimer une densité de probabilité sur une toile d’araignée ?  Version PDF

Passés
(Vidéos disponibles en ligne)

Mardi 3 décembre 2019 16:00-17:00 Sébastien Gouëzel 
Assistants de preuve : un outil pour les mathématiciens ? *Exceptionnellement un mardi.*

Plus d'infos...

Résumé : Attention ! Exceptionnellement un mardi.
Les assistants de preuve sont des outils informatiques qui permettent de formaliser et vérifier tous les détails d’une preuve. Alors qu’ils sont développés et utilisés depuis longtemps par des informaticiens (notamment pour prouver qu’un programme fait bien ce qu’on attend de lui), leur adoption par des mathématiciens est beaucoup plus récente. Je décrirai à travers mon expérience personnelle ce que ces outils permettent déjà de faire, notamment pour des résultats niveau recherche, mais aussi les difficultés que pose leur utilisation pour un mathématicien. Et j’espère aussi dissiper quelques fantasmes !
le lien vers la video de la conférence

Assistants de preuve : un outil pour les mathématiciens ? *Exceptionnellement un mardi.*  Version PDF

Lundi 4 novembre 2019 16:00-17:00 Marc Hindry (Université Paris Diderot)
Autour du théorème de Brauer-Siegel

Plus d'infos...

Résumé : Le théorème de Brauer-Siegel relie asymptotiquement les trois invariants les plus importants d’un corps de nombres (extension finie du corps des rationnels) : son discriminant, son nombre de classes d’idéaux et son régulateur des unités. J’expliquerai chacun de ces objets et les grandes lignes de la démonstration, avant de décrire des analogies avec plusieurs situations de géométrie arithmétique, notamment : surface algébrique définie sur un corps fini, variété abélienne définie sur un corps global.

Autour du théorème de Brauer-Siegel  Version PDF

Lundi 15 octobre 2018 14:00-15:00 Nalini Anantharaman (IRMA - Université de Strasbourg)
Délocalisation des fonctions propres de Schrödinger

Plus d'infos...

Résumé : Il y a 100 ans, Einstein se posait la question de trouver des « conditions de quantification » pour les systèmes ergodiques. Alors que nous sommes encore loin d’avoir une bonne description du spectre d’opérateurs de Schrödinger associés à une dynamique classique ergodique, des progrès ont été faits récemment concernant la délocalisation des fonctions propres associées.

Délocalisation des fonctions propres de Schrödinger  Version PDF

Lundi 12 mars 2018 16:00-17:00 Timothy Gowers (Université de Cambridge, Fondation des Sciences Mathématiques de Paris)
Les théorèmes inverses dans la combinatoire additive

Plus d'infos...

Lieu : Amphi de l'IMO

Résumé : Un théorème direct sur un ensemble d’entiers utilise la definition et la structure de l’ensemble pour obtenir des propriétés interessantes. Par exemple, le théorème de Lagrange, selon lequel tout entier positif est la somme de quatre carrés parfaits, est de ce genre. En revanche, un théorème inverse commence avec les propriétés d’un ensemble : le but est alors de découvrir la structure sous-jacente qui explique ces propriétés. Il y a plusieurs théorèmes inverses assez surprenants qui jouent un rôle très important dans la combinatoire additive.

Les théorèmes inverses dans la combinatoire additive  Version PDF

Lundi 13 novembre 2017 14:00-15:00 Sophie Grivaux (Laboratoire Paul Painlevé, Université de Lille)
Exposé reporté ! (Systèmes dynamiques linéaires)

Plus d'infos...

Lieu : Petit Amphi, Bâtiment 425

Résumé : Un système dynamique linéaire est la donnée d’un couple $(X,T)$, où $X$ est un espace de Banach de dimension infinie et $T$ est un opérateur linéaire borné sur $X$. De tels systèmes peuvent être considérés tant du point de vue de la dynamique topologique (comportement des orbites, chaos...), que du point de vue de la dynamique mesurable (existence de mesures de probabilité $T$-invariantes non-triviales, ergodicité, mélange...), et leur étude se situe à l’interface de l’analyse fonctionnelle et des systèmes dynamiques.
Je présenterai quelques résultats frappants concernant cette classe de systèmes, ainsi que quelques applications.

Exposé reporté ! (Systèmes dynamiques linéaires)  Version PDF

Lundi 18 septembre 2017 14:00-15:00 Amaury Lambert (UPMC et Collège de France)
Arbres ultramétriques et applications

Plus d'infos...

Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : Les arbres ultramétriques sont les arbres dont les feuilles se trouvent
toutes à la même distance de la racine. Ilssontutilisés pour modéliser
la généalogie d’une population de particules coexistant au même instant.
Nousmontrerons comment la frontière d’un arbre ultramétrique, comme
n’importe quel espace ultramétrique compact, peut être représentéede
façon simple via la métrique dite du peigne. Nous donnerons plusieurs
exemples de peignes aléatoires etexpliquerons de quelle manière ils
peuvent être utilisés dans les applications. En particulier, nous
examinerons certains résultatsconcernant la structure génétique de la
population en présence de mutations poissonniennes neutres sur le
squelette del’arbre.

Arbres ultramétriques et applications  Version PDF

Lundi 19 juin 2017 16:00-17:00 Stéphanie Allassonnière (Université Paris Descartes)
Mixed-effect model for the spatiotemporal analysis of longitudinal manifold-valued data
(exposé en français)

Plus d'infos...

Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : In this talk, I propose to present a generic hierarchical spatiotemporal model for longitudinal manifold-valued data, which consist in repeated measurements over time for a group of individuals. This model allows us to estimate a group-average trajectory of progression, considered as a geodesic of a given Riemannian manifold. Individual trajectories of progression are obtained as random variations, which consist in parallel shifting and time reparametrization, of the average trajectory. These spatiotemporal transformations allow us to characterize changes in the direction and in the pace at which trajectories are followed. We propose to estimate the parameters of the model using a stochastic version of the expectation-maximization (EM) algorithm, the Monte Carlo Markov Chain Stochastic Approximation EM (MCMC SAEM) algorithm.
This generic spatiotemporal model is used to analyze the temporal progression of a family of biomarkers. This progression model estimates a normative scenario of the progressive impairments of several cognitive functions, considered here as biomarkers, during the course of Alzheimer’s disease. The estimated average trajectory provides a normative scenario of disease progression. Random effects provide unique insights into the variations in the ordering and timing of the succession of cognitive impairments across different individuals.

Mixed-effect model for the spatiotemporal analysis of longitudinal manifold-valued data
(exposé en français)  Version PDF

Lundi 3 avril 2017 16:00-17:00 Bachir Bekka (Université de Rennes 1)
Actions de groupes par isométries affines et algèbres de von Neumann

Plus d'infos...

Lieu : Bât. 425, Petit Amphi

Résumé : Des classes importantes de groupes localement compacts peuvent être caractérisés par leur actions par isométries sur des espaces de Hilbert (groupes avec la propriété de Kazhdan, groupes a-T-menables ou groupes avec la propriété de Haagerup). Ces actions sont décrites par des groupes de cohomologie à valeurs dans des représentations unitaires du groupe en question.
Pour une représentation donnée, cet espace de cohomologie (réduite) possède une structure d’espace de Hilbert qui en fait un module sur une l’algèbre de von Neumann
appropriée, donnant ainsi lieu à une notion de dimension de von Neumann pour cet espace de cohomologie. Dans le cas de la représentation régulière, cette dimension est le 1er nombre de Betti L2 du groupe. Nous donnerons un aperçu de ces notions. En particulier, nous montrerons comment traduire en termes de dimension de von Neumann l’irréductibilité des actions d’un groupe par isométries affines.

Actions de groupes par isométries affines et algèbres de von Neumann  Version PDF

Lundi 20 mars 2017 16:00-17:00 Sorin Popa (University of California, Los Angeles)
Structure and randomness in II$_1$ factors

Plus d'infos...

Lieu : Bât. 425, petit amphi

Résumé : II$_1$ factors are non-commutative versions of the function algebra $L^\infty([0,1])$,
the way matrix algebras $M_n\times n(\mathbf C)$ are analogue to finite spaces. They arise as infinite tensor products and ultra products of matrix algebras, but also from groups $\Gamma$ and their actions on probability spaces $\Gamma \curvearrowright X$. A key analysis tool to study II$_1$ factors in terms of their building data is \it deformation-rigidity theory. It fits within the fundamental dichotomy \it structure versus randomness, which appeared in many areas of mathematics in recent years. I will comment on this technique and present several classification results obtained this way, showing for instance that factors arising from Bernoulli actions of property (T) groups $\Gamma \curvearrowright X$ ``remember’’ both the group and the action, and that free ergodic actions of the free groups $\mathbf F_n$ remember the rank $n$.

Structure and randomness in II$_1$ factors  Version PDF

Lundi 27 février 2017 16:00-17:00 Nikolay Tzvetkov (Université de Cergy-Pontoise)
Rigidité des lois de conservation pour l’équation de Schrödinger non linéaire

Plus d'infos...

Lieu : Bât. 425, petit amphi

Résumé : L’équation de Schrödinger non linéaire défocalisante (NLS) est un exemple important d’un système Hamiltonien de dimension infinie. Elle a été beaucoup étudiée dans les 50 dernières années. Il s’est avéré qu’un nombre important de domaines mathématiques se sont montrés utiles dans l’analyse de ses solutions : l’analyse de Fourier (en particulier la méthode du cercle de la théorie des nombres), l’analyse complexe (en particulier la théorie des surfaces de Riemann), la théorie spectrale directe et inverse, la théorie des probabilités, le calcul des variations, les systèmes dynamiques ... Il est impossible dans un exposé d’une heure de donner un aperçu sur l’ensemble de ces développements.
Nous allons donc plutôt donner une introduction élémentaire à un résultat récent en collaboration avec Benoit Pausader (Université de Brown, USA) mettant en évidence une propriété surprenante concernant les lois de conservation de cette equation.
La structure Hamitonienne de NLS donne une borne a priori sur les normes de Sobolev $H^1$ des solutions. Une autre invariance donne aussi une borne a priori sur la norme $L^2$ des solutions. La question alors est : a-t-on des bornes a priori sur les autres normes de Sobolev $H^s$ pour $s$ différent de $0$ et $1$ ? Cette question a été popularisée en particulier par J. Bourgain dans les années 1990 et semble liée au phénomène de « turbulence faible ».
En dimension $1$, il est connu depuis les travaux de Zakharov-Shabat que NLS peut s’écrire sous la forme de Lax. Par conséquent on obtient que les normes de Sobolev de chaque solution restent bornées.
Nous allons annoncer un résultat qui montre qu’en dimension trois nous pouvons bien construire des solutions de l’équation de Schrödinger non linéaire qui ne sont pas bornées dans $H^s$, pour $s>1$ et même pour certains $s\in (0,1)$. Cela montre une rigidité remarquable des lois de conservation pour NLS. Ces solutions sont périodiques par rapport à deux des variables et localisées par rapport à la troisième variable. Ce résultat est basé sur une combinaison subtile d’un phénomène de type diffusion d’Arnold et un résultat de diffusion modifiée à valeurs vectorielles.
Au début de l’exposé nous allons présenter quelques résultats basiques, élémentaires mais fondamentaux concernant l’équation de Schrödinger linéaire périodique et sur la droite. Ensuite, nous allons discuter le problème sans dispersion. Ensuite, nous allons présenter les conséquences du travail de Zakharov-Shabat. Dans la deuxième partie de l’exposé, nous allons d’abord montrer comment on peut se ramener à l’étude d’un problème simplifié prenant en compte uniquement la partie « résonnante » de la non linéarité. Finalement, nous allons montrer quelques aspects de l’étude de ce problème simplifié.

Rigidité des lois de conservation pour l’équation de Schrödinger non linéaire  Version PDF