L’organisation des enseignements en première année de magistère : L3

Semestre 1

Cours fondamentaux

  • Algèbre 1
  • Topologie et Analyse Fonctionnelle
  • Calcul Différentiel et Géométrie
  • Intégration

Cours optionnels : les étudiants choisissent en plus une des options suivantes.

Programmation, algorithmique et théorie de la complexité (5 crédits)

  • Responsable : Laurent Rosaz
  • Secrétariat de la Licence Informatique
  • Objectif : Initier les étudiants aux concepts fondamentaux de la programmation, l’algorithmique et la complexité.

Contenu :

1. Programmation :
o Écriture de petits programmes sous forme de pseudo-code.
o Techniques de programmation. Récursivité.

2. Algorithmique :
o Notions générales. Algorithmes. Complexité (Estimations et calculs fins)
o Listes (à la caml, proches également des listes chaînées en impératif)
o Liste tableaux
o Tris simples, tri rapide, tri par tas
o Arbres, arbres binaires de recherche
o Introduction à l’algorithmique sur les graphes
o Programmation dynamique

3. Théorie de la complexité :
o Machines de Turing déterministes. Indécidabilité - Ensembles décidables et récursivement énumérables.
o Machines de Turing non déterministes. NP-complétude. Conjecture P <> NP.

  • Volume Horaire : 50h CM:17 TD:33
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
    • Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
    • Session 1 : F = 0.4P + 0.6E
    • Session 2 : F = 1E

Combinatoire algébrique (5 crédits)

  • Responsable : Olivier Fouquet
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : L’objectif de ce cours est d’explorer les propriétés des structures algébriques du programme de Licence (groupes finis, algèbres de polynômes, espaces vectoriels euclidiens et hermitiens) au travers du prisme de l’étude de problèmes combinatoires.

1. Bases du dénombrement
• Définition des objets fondamentaux : factorielle, coefficients binomiaux, coefficients multinomiaux, arrangements.
• Le groupe symétrique.
• Dénombrement des bijections, des injections, des surjections entre deux ensembles finis.
• Preuves bijectives.

2. Séries génératrices
• Quatre structures d’algèbres sur les suites : structure produit, structure polynomiale, structure factorielle, structure de Dirichlet.
• Séries 1/(1-x), ex, zêta formelles.
• Formules binomiales : binôme de Pascal, convolution de Vandermonde.
• Trigonométrie combinatoire : les coefficients du développement de cos, sin, ch, sh et tan en tant qu’invariants combinatoires.

3. Théorie élémentaire des graphes
• Définition des graphes simples finis non-orientés.
• Chemins, composantes connexes, cycles, arbres, graphes des arêtes.
• Graphes de Cayley, graphes de Kneser.

4. Morphismes de graphes
• Morphismes, isomorphismes, automorphismes des graphes.
• Le groupe diédral comme groupe des automorphismes des cycles.
• Action simplement transitive sur les graphes de Cayley.

5. Théorie algébrique des graphes
• Espace vectoriel et endomorphisme associé à un graphe.
• Lien avec les parcours.
• Spectre des graphes classiques et des graphes de Cayley commutatifs.

6 Combinatoire algébrique des graphes
• Approche spectrale des parcours sur les cycles, les chemins, les hypercubes.
• Principe de réflexion, série génératrice des nombres de Catalan.
• Laplacienne. Théorème arbre-matrice.

  • Volume Horaire : 50h CM:25 TD:25
  • Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
    Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu. Durée Partiel : 2heures et examens : 2 heures 30
    Session 1 : F = 0.4P + 0.6E - Session 2 : F = 1E

Physique mathématique et introduction aux outils de la relativité générale (2.5 crédits)

  • Responsable : Renaud Parentani
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : Introduction aux mathématiques de la Relativité Générale : Nous commençons par expliquer pourquoi l’équivalence entre masse inertielle et masse grave permet de décrire les forces gravitationnelles en termes géométriques. Puis nous expliquons comment décrire mathématiquement les espaces-temps courbes. Ensuite nous montrons comment s’y formule la mécanique relativiste pour obtenir l’équation des géodésiques. Enfin nous étudions les géodésiques au voisinage de l’horizon d’un trou noir, et nous présentons les derniers développements de la physique des trous noirs (rayonnement de Hawking).

Volume horaire : 25h = 15h CM et 10h de TD

Les étudiants qui choisissent cette option devront approfondir une notion de mathématiques vue en cours et rédiger un rapport à fin de valider cette option.



Semestre 2

Cours fondamentaux

  • Théorie de la Mesure et Probabilités
  • Fonctions Holomorphes
  • Algèbre 2
  • Équations Différentielles et Systèmes Dynamiques

Cours spécifiques. Un choix entre les deux cours spécifiques de magistère suivants :

Topologie et Théorie de la mesure, compléments

  • Responsable : Dominique HULIN
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : Étude de quelques grands théorèmes d’analyse fonctionnelle et de théorie de la mesure.
Parmi les applications, l’accent sera mis sur l’étude des ensembles auto-similaires (fractales) qui nous servira de fil directeur pour une bonne partie du cours.

1. Théorème de Baire
2. Théorème de Hahn-Banach
3. Théorème d’Ascoli. Une première visite de la compacité faible
4. Ensembles auto-similaires (IFS)
5. Mesures, mesures extérieures
6. Mesures de Radon, théorème de représentation de Riesz
7. Construction de mesures
8. Mesures et dimension de Hausdorff
9. Calcul de dimensions de Hausdorff (dmension de Minkowski, lemme de Frostman, méthode de l’énergie)
10. Exemples (dimension de Hausdorff d’un IFS)
11. Un peu de topologie générale (topologie quotient, initiale, finale). Compacité faible
12. Mesures invariantes sur un IFS

Volume Horaire : 48h

Graphes et modélisation

  • Responsable : Bertrand Maury
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : Les nouvelles formes de communications entre individus suscitent actuellement un nombre considérable de travaux de modélisation : on représente les individus comme les sommets d’un graphe, dont chaque arête, orientée, représente l’influence exercée par une personne sur une autre.
Ce cours est construit sur l’élaboration et l’étude de modèles de propagation d’opinion construits sur ce principe, le cœur du modèle résidant dans la manière dont chacun est influencé par l’opinion affichée des autres. Sous certaines hypothèses, on montrera qu’il est possible de répondre aux questions les plus naturelles : l’opinion des agents converge-t-elle vers un consensus ? Si oui, cette opinion limite est-elle stable par rapport aux paramètres du modèle ?
Peut on estimer l’importance relative de tel ou tel « influenceur » sur une population ? …
Cette démarche permettra de revisiter et interpréter dans un contexte application particulier des notions vues dans les cours fondamentaux, algèbre linéaire, topologie, calcul différentiel géométrie …, ainsi que d’établir des connections avec des notions plus classiques en modélisation physique : équation de la chaleur, équation de transport, équation des ondes, flots de gradient, thermodynamique…
Au delà de l’analyse mathématique de certains modèles, pour l’essentiel cantonnée à une vision positive et consensuelle de l’influence (une personne tend à rapprocher son opinion des personnes qu’elle écoute), une partie du cours, plus exploratoire, pourra être consacrée à la recherche de mécanismes et modèles permettant d’expliquer l’apparition spontanée de plusieurs communautés de pensée au sein d’une population (clivage).

Prérequis : ce cours, assez largement auto-contenu, s’appuie sur certaines notions de base en algèbre linéaire (réduction d’endomorphisme), ainsi qu’en calcul différentiel / topologie (différentielle d’une fonction de plusieurs variable à valeurs vectorielles, équations différentielle, stabilité des points d’équilibre, suites dans un espace métrique, théorème de point fixe).

Volume Horaire : 48h


Cours optionnels à choisir dans la liste suivante :

  • Calcul formel et algèbre effective
  • Modélisation en Analyse
  • Modélisation en Probabilités
  • Informatique Théorique
  • EDP Math-Physique
  • Méthodes statistiques de prévision
  • Algorithmique d’optimisation numérique

Stage

Apprentissage hors murs

Trois semaines dans une entreprise, une administration ou un laboratoire (excepté le laboratoire de Mathématiques en France).

  • Responsable : Guy David
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : Au cours de votre première année de Magistère, vous devez effectuer un stage dans une entreprise, un laboratoire de recherche (exceptés les laboratoires de Mathématiques français) ou n’importe quel organisme scientifique, d’une durée équivalente à trois semaines à temps plein.
Ce stage a différents objectifs :
o vous montrer comment et pourquoi les mathématiques sont utilisées dans d’autres disciplines,
o vous sensibiliser aux problèmes des milieux industriels ou de la recherche,
o vous permettre de découvrir un problème concret issu de domaines variés (physique, économie, biologie, ou médecine par exemple) et de suivre les étapes de sa résolution (expériences, modélisation, résolution exacte ou numérique, simulations, confrontation entre résultats numériques et expérimentaux, etc.)

Ce stage peut avoir diverses orientations : bibliographie, résolution numérique, résolution mathématique, etc., mais doit consister en une application des mathématiques utile et originale pour l’organisme d’accueil. Vous devrez rendre (au secrétariat Nathalie Carrierre) un rapport de stage (début septembre). Ce rapport doit présenter le problème sur lequel vous avez travaillé, et expliquer votre contribution et vos résultats.
• Vous trouverez au secrétariat les rapports de stage des années précédentes (lieux et titres), vous pouvez aussi vous adresser au SCUIO (bât. 333), Démarche à suivre :
o Trouver un stage,
o Retirer une convention de stage au secrétariat, la remplir et la faire signer par l’organisme d’accueil du stage et la déposer au secrétariat.
o Effectuer le stage,
o Rendre un rapport d’activités au secrétariat (Nathalie Carrierre).

Remarque : Il n’y a pas de note de stage, néanmoins il est obligatoire d’avoir effectué un stage et rendu un rapport pour valider le magistère.

Projet de Magistère

  • Responsable : Maria Gomez Aparicio
  • Secrétariat : Nathalie Carrierre

Contenu : Le Travail personnel encadré en mathématique permet d’aborder et d’approfondir un thème de Mathématiques du niveau de la licence. Ce travail est encadré par un enseignant chercheur ou un chercheur du Département de Mathématiques. Une liste de thèmes proposés est disponible au secrétariat (voir ci-dessous quelques exemples).
On peut aussi s’adresser aux mathématiciens du département pour susciter un thème de projet.
Le projet doit mener à une compréhension du thème proposé, compréhension attestée par la rédaction d’un mémoire et une courte soutenance orale.
L’enseignant-chercheur ou chercheur qui encadre le projet donne également une note de projet.
Exemples de thèmes :
o Nombres premiers dans les progressions arithmétiques
o Intégrales oscillantes
o Marches aléatoires sur les entiers
o Histoire des Mathématiques : les premiers principes de l’analyse
o Surfaces et conception assistée par ordinateur
o Composition et décomposition de polynômes
o Le groupe modulaire

Volume Horaire : 25h

Modalités de contrôle : F= note finale, P = Partiel, E = Examen final, TD = Travaux Dirigés, TP = Travaux Pratiques, O = Oral.
Les notes obtenues dans les parties TD, TP et O sont du Contrôle Continu.
1. Session 1 : F = 1E
2. Session 2 : F =

En outre, les étudiants suivent et doivent valider leur participation au séminaire « Explique moi » organisé par les doctorants de l’EDMH.
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