Prochainement

Mardi 29 septembre 14:00-15:15 Gerard Freixas i Montplet (IMJ)
Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : La symétrie miroir à la Candelas-de la Ossa-Green-Parkes prédit une correspondance entre les invariants de Gromov–Witten de genre 0 d’une variété de Calabi–Yau, et un invariant extrait de la variation de structures de Hodge d’une famille de variétés de Calabi-Yau miroirs (accouplement de Yukawa). Pour le comptage de courbes de genre 1, une conjecture de Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV) propose que l’analogue de l’accouplement de Yukawa serait un invariant compliqué de nature spectrale, appelé invariant BCOV. L’invariant BCOV est essentiellement une combinaison de torsions analytiques holomorphes. À son tour, la torsion analytique holomorphe est un ingrédient distinctif de la formule de Grothendieck-Riemann-Roch (GRR) en géométrie d’Arakelov.
Dans un travail en commun avec D. Eriksson et C. Mourougane, nous proposons un raffinement de la conjecture de BCOV de nature algébrique, dont la formulation ne fait donc pas appel à la torsion analytique holomorphe. Elle est ainsi plus proche à la formulation de la symétrie miroir en genre 0. Dans notre interprétation, la série génératrice des invariants de Gromov-Witten de genre 1 d’une variété de Calabi-Yau devient l’expression locale d’un isomorphisme de GRR, entre certains fibrés en droites extrait des fibrés de Hodge d’une famille miroir. L’invariant BCOV est alors la norme de cet isomorphisme pour les normes de Hodge. Nous démontrons la conjecture pour le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau dans P^n. La preuve utilise tout de même la torsion analytique holomorphe, en ce qu’elle repose sur la formule de GRR en géométrie d’Arakelov. On se sert de manière fondamentale des travaux de Zinger sur les séries génératrices des invariants de Gromov-Witten de genre 1. Nos résultats améliorent et généralisent un théorème de Fang–Lu–Yoshikawa en dimension 3, et fournissent les premiers exemples complets de symétrie miroir en genre 1 et dimension quelconque.

Notes de dernières minutes : Séminaire en présentiel avec masque

Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1  Version PDF

Jeudi 1er octobre 14:00-15:00 Nicolas Burq (LMO - Université Paris Saclay)
Séminaire AN-EDP : Propagation de la petitesse et contrôle pour l’équation de la chaleur

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Résumé : Dans cette exposé je présenterai des résultats sur la propagation de la petitesse pour les solutions de l’équation de la chaleur. On s’intéressera à cette question sur une variété compacte avec ou sans bord (et conditions de Dirichlet ou Neumann) ou sur Rd. L’objet de l’étude est de démontrer des estimations d’observation quand on observe des solutions de l’équation de la chaleur sur de petits ensembles (ensembles de mesure de Lebesgue positive) ou même des ensembles de dimension de Hausdorf strictement inférieure à la dimension ambiante, mas pas trop petite.
Il est connu depuis les années 2000 que cette question est intimement liée aux estimées de projecteurs spectraux a la Jerison-Lebeau. Les seuls résultats connus précedemment concernaient soit des ensembles d’observation ouverts, soit le cas du Laplacien euclidien sur un ouvert de Rd, ou des perturbations holomorphes et asymptotiquement nulles a l’infini sur Rd, pour lesquels des techniques d’analyse complexe (principe d’incertitude ou inégalité de Logvenenko-Sereda, estimatons de Carleman pour le $\overline\partial$) pouvaient s’appliquer.
On montrera dans cet exposé que l’approche d’analyse réelle de Logunov-Malinninkova sur la propagation de la petitesse pour les fonctions harmoniques s’étend aux solutions de l’équation de la chaleur, permettant généraliser considérablement les hypothèses de régularité et de considerer des Laplaciens à coefficients Lipschitz, sur des variétés compactes peu régulières, avec ou sans bord (et conditions de Dirichlet ou Neumann) ou sur Rd (et sans hypothèse de type perturbation sur Rn).
Il s’agit d’un travail en collaboration avec I. Moyano (Université de Nice).

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Jeudi 1er octobre 14:00-15:00 Bertrand Deroin  (Cergy-Pontoise)
Non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang supérieur

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Lieu : 2L8

Résumé : Je décrirai un travail en collaboration avec Sebastian Hurtado dans lequel on démontre qu’un réseau irréductible dans un groupe de Lie semi-simple de centre fini et de rang supérieur à deux ne peut être ordonné à gauche. De façon équivalente, ces réseaux n’ont aucune action par homéomorphismes sur la droite réelle.

Notes de dernières minutes : Café culturel assuré à 13h par Jean Lécureux

Non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang supérieur  Version PDF

Jeudi 1er octobre 15:45-16:45 Eva Löcherbach (Université Paris 1)
Métastabilité pour des systèmes de neurones en interactions

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Lieu : 3L15

Résumé : Travail en collaboration avec P. Monmarché
Nous étudions les propriétés métastables d’un grand système de neurones en interactions. Le système comporte N neurones. Chaque neurone émet des potentiels d’action (spikes) avec un taux qui dépend de la valeur de son potentiel de membrane. Au moment du spike, le potentiel de membrane du neurone en question est remis à 0 tandis que tous les autres neurones reçoivent une charge additionnelle h/N de potentiel, h positif. Entre spikes successifs, chaque neurone perd son potentiel à une vitesse exponentielle. Nous étudions ce processus dans le régime supercritique, lorsque h est suffisamment grand. Duarte et Ost (2016) ont montré que, sous des conditions minimales sur le comportement de la fonction taux de saut près de 0, le système s’éteint presque sûrement (cesse d’émettre des spikes après un temps fini).
Nous montrons que le temps d’extinction arrive à des instants exponentiellement grands en N et que - pour h suffisamment grand - l’état 0 devient instable pour le processus non-linéaire limite. Ensuite nous montrons que - si les fonctions taux saturent - les temps d’extinction, re-normalisés par leur espérance, convergent en loi vers une loi exponentielle lorsque N tend vers l’infini, d’où la métastabilité du système. Les ingrédients principaux sont des techniques de grandes déviation pour un processus auxiliaire ainsi que des couplages astucieux pour les taux de sauts et les valeurs des potentiels de membrane à la fois en distance de Wasserstein et en variation totale.

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Mardi 6 octobre 14:00-15:15 Anne Moreau (IMO)
Tranches de Slodowy nilpotentes et isomorphismes entre W-algèbres

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : Les W-algèbres sont certaines algèbres vertex associées aux éléments nilpotents d’une algèbre de Lie simple. Dans cet exposé, j’expliquerai comment la géométrie des tranches de Slodowy nilpotentes permet de détecter des isomorphismes non-triviaux entre W-algèbres. Il s’agit d’un travail en cours et en commun avec Tomoyuki Arakawa et Jethro Van Ekeren.

Notes de dernières minutes : En présentiel avec masques obligatoires

Tranches de Slodowy nilpotentes et isomorphismes entre W-algèbres  Version PDF

Mardi 6 octobre 15:30-16:45 Pierrick Bousseau (IMO)
Positivité pour l’algèbre skein de la sphère privée de 4 points

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : L’algèbre skein d’une surface topologique est construite à partir des noeuds et entrelacs dans la variété de dimension 3 obtenue en prenant le produit de la surface avec un intervalle. Une conjecture due à Dylan Thurston prédit la positivité des constantes de structure d’une certaine base de l’algèbre skein. Je présenterai une preuve récente de cette conjecture pour l’algèbre skein de la sphère privée de 4 points. De manière un peu surprenante, cette preuve d’un résultat topologique fait appel à la géométrie algébrique complexe, et en particulier à l’étude des courbes algébriques dans les surfaces cubiques complexes.

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Mardi 6 octobre 17:00-18:15 Anne Lonjou (IMO)
Actions des groupes de Cremona sur des complexes cubiques CAT(0)

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Lieu : salle 0A2 du bâtiment 307

Résumé : À toute variété algébrique nous pouvons associer son groupe des transformations birationnelles. Un des cas les plus intéressants est lorsque la variété considérée est l’espace projectif de dimension n. Dans ce cas, ce groupe est appelé groupe de Cremona de rang n. Le groupe de Cremona de rang 2 est maintenant assez bien compris bien que ce soit un groupe compliqué. Un des outils clés pour l’étudier est son action sur un espace hyperbolique. Malheureusement, en rang supérieur une telle action n’est pas à notre disposition. Récemment en théorie géométrique des groupes, les actions sur des complexes cubiques CAT(0) se sont avérées être un outil important pour étudier une large classe de groupes.
Dans cet exposé, basé sur un travail en commun avec Christian Urech, nous construirons de tels complexes sur lesquels les groupes de Cremona agissent. Nous verrons ensuite quels résultats nous pouvons ainsi obtenir sur ces groupes.

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Jeudi 8 octobre 14:00-15:00 Adrien Boyer (Université de Paris)
Titre à venir

Jeudi 8 octobre 15:45-16:45 Vincent Vargas (ENS Paris)
La théorie conforme de Liouville : équivalence entre l’intégrale de chemin et le bootstrap

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Lieu : 3L15

Résumé : La théorie de Liouville est une famille de theories conformes des champs
qui apparait dans de nombreux contextes en physique théorique/théorie des
probabilités : Yang-Mills 4d avec supersymmétrie, asymptotique des grandes
cartes planaires, etc...
Il existe deux approches très différentes à la théorie de Liouville dans
la litérature physique : l’une est une formulation en terme d’intégrale de
chemin à la Feynman et l’autre une formulation récursive appelée conformal
bootstrap. Récemment, nous avons donné une définition rigoureuse de
l’intégrale de chemin via la théorie des probabilités (et en particulier
le champ libre gaussien). Dans cet exposé, je présenterai un travail
récent qui montre que la formulation probabiliste de l’intégrale de chemin
est équivalente à la construction via le bootstrap. L’ingrédient essentiel
de la preuve est l’étude spectrale d’un semigroupe de dimension infinie
(de type Ornstein-Uhlenbeck plus un potentiel exponentiel).
Basé sur un ensemble de travaux en collaboration avec C. Guillarmou, F.
David, A. Kupiainen and R. Rhodes.

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Mardi 13 octobre 14:00-15:15 Florent Jouve (Université de Bordeaux )
Disparités de répartition pour les automorphismes de Frobenius

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Étant donnée une extension galoisienne de corps de nombres L/K, le théorème de Chebotarev affirme l’équirépartition des éléments de Frobenius, relatifs aux idéaux premiers non ramifiés, dans les classes de conjugaison de Gal(L/K). On présentera une étude portant sur les variations du terme d’erreur dans le théorème de Chebotarev, lorsque L/K parcourt certaines familles d’extensions. On donnera une formule de transfert pour les fonctions classiques de décompte des nombres (ou idéaux) premiers permettant de ramener la situation à celle d’une extension des rationnels. On exposera enfin quelques conséquences à des problèmes de “type Linnik” sur la norme minimale des idéaux premiers dans un ensemble de Frobenius donné. L’exposé porte sur un travail commun avec D. Fiorilli

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Disparités de répartition pour les automorphismes de Frobenius  Version PDF

Jeudi 15 octobre 15:45-16:45 Lorenzo Zambotti (Sorbonne Université)
A préciser

Mardi 20 octobre 14:00-15:15 Jean-François Dat (IMJ)
Espace de modules de paramètres de Langlands locaux

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Résumé : Les paramètres de Langlands classiques sont des 1-cocycles « l-adiquement continus » de groupes de Galois de corps globaux ou locaux à valeurs dans les Q_l-points d’un groupe réductif. Construire un espace de modules de tels paramètres demande de définir une notion convenable de famille algébrique de 1-cocycles « l-adiquement continus ». Dans le cas local, et tant qu’on reste sur Q_l, on peut contourner le problème en utilisant le théorème de monodromie potentiellement unipotente de Grothendieck. Mais dès que l’on veut travailler sur Z_l, cette approche ne fournit pas de bons espaces de modules (notamment, les complétés en les points de la fibre spéciale ne redonnent pas les espaces de déformation utilisés en arithmétique). Nous présenterons une construction d’un espace de module défini sur Z[1/p] (où p est la caractéristique résiduelle du corps local considéré) et qui fournit, après tensorisation par Z_l, l différent de p, une famille algébrique universelle de 1-cocycles l-adiquement continus. Cet espace est plat, localement intersection complète, et génériquement lisse sur Z[1/p]. Nous paramétrerons ses composantes connexes, ainsi que les composantes connexes des changements de base à chaque Z_l. Nous décrirons aussi les quotient GIT des fibres géométriques à homéomorphisme près. Cette description va en direction de la conjecture principale que nous formulons sur ce quotient GIT, à savoir qu’il devrait être isomorphe à la partie stable du centre de Bernstein du groupe p-adique dual (travail en commun avec Helm, Kurinczuk et Moss).

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Jeudi 5 novembre 15:45-16:45 Emmanuel Schertzer (Sorbonne Université)
A préciser

Passés

Jeudi 24 septembre 14:00-15:00 Virginie Ehrlacher  (CERMICS, ENPC )
Séminaire AN-EDP : Un schéma aux volumes finis convergent pour le système de Stefan-Maxwell

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Lieu : LMO, salle 3L8

Résumé : Un schéma aux volumes finis convergent pour le système de Stefan-Maxwell
(travail en collaboration avec Clément Cancès et Laurent Monasse)
L’objectif de ce travail est de proposer un schéma numérique convergent basé sur une méthode de volumes finis pour le modèle dit de Stefan-Maxwell. Ce modèle décrit l’évolution de la composition d’un système composé de plusieurs espèces (chimiques par exemple), et s’écrit comme un système couplé d’équations de diffusion croisée. Le schéma repose sur une approximation de flux à deux points, et préserve au niveau discret un grand nombre de propriétés fondamentales du modèle au niveau continu, à savoir la positivité des solutions, la conservation de la masse totale de chaque espèce et la préservation des contraintes de volume. Il satisfait de plus une relation entre l’entropie discrète et la dissipation de cette entropie qui est très proche de la relation qui existe au niveau continu entre l’entropie et la dissipation d’entropie. Dans cette présentation, nous présenterons ce schéma et certains éléments de l’analyse de sa convergence, et nous illustrerons son comportement par des résultats numériques.

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Jeudi 24 septembre 14:00-15:00 Vincent Rivoirard  (CEREMADE - Université Paris Dauphine )
Inférence non-paramétrique pour les processus de Hawkes

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Résumé : Les processus Hawkes ont de multiples applications, en particulier pour la modélisation des données temporelles dont la dépendance au passé est complexe. Ils sont utilisés en sismologie, en neurosciences, en génétique ou en analyse des réseaux sociaux, par exemple. L’objectif de cet exposé est de présenter quelques résultats d’inférence non-paramétrique pour les processus de Hawkes multivariés. Dans la première partie de l’exposé, l’approche fréquentiste sera considérée et des estimateurs de type Lasso seront décrits. La seconde partie sera dévolue à l’approche bayésienne et notamment à la présentation des vitesses de concentration pour des distributions a posteriori, d’abord pour les processus de Hawkes multivariés linéaires, puis pour les processus non-linéaires. Une étude numérique pour illustrer ces résultats sera finalement présentée.

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Mardi 22 septembre 14:00-15:15 Tony Yue Yu  (IMO)
Secondary fan, theta functions and moduli of Calabi-Yau pairs

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : We conjecture that any connected component Q of the moduli space of triples (X, E=E_1+...+E_n, Theta) where X is a smooth projective variety, E is a normal crossing anti-canonical divisor with a 0-stratum, every E is smooth, and Theta is an ample divisor not containing any 0-stratum of E, is *unirational*. More precisely : note that Q has a natural embedding into the Kollár-Shepherd-Barron-Alexeev moduli space of stable pairs, we conjecture that its closure admits a finite cover by a complete toric variety. We construct the associated complete toric fan, generalizing the Gelfand-Kapranov-Zelevinski secondary fan for reflexive polytopes. Inspired by mirror symmetry, we speculate a synthetic construction of the universal family over this toric variety, as the Proj of a sheaf of graded algebras with a canonical basis, whose structure constants are given by counts of non-archimedean analytic disks. In the Fano case and under the assumption that the mirror contains a Zariski open torus, we construct the conjectural universal family, generalizing the families of Kapranov-Sturmfels-Zelevinski and Alexeev in the toric case. In the case of del Pezzo surfaces with an anti-canonical cycle of (-1)-curves, we prove the full conjecture. The reference is arXiv:2008.02299 joint with Hacking and Keel.

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Lundi 21 septembre 12:00-18:05  
Journée de rentrée de l’équipe Topologie et Dynamique

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Lieu : IMO, Amphi Yoccoz

Résumé :
12h00 - 14h00 : Repas
14h00 - 14h30 : Réunion d’équipe
14h35 - 15h20 : Anne Lonjou
15h25 - 16h10 : Léonard Cadilhac
16h30 - 17h15 : Pierre-Alexandre Arlove
17h20 - 18h05 : Sélim Ghazouani


Titres et Résumés :


Anne Lonjou
Titre : Actions du groupe de Cremona sur un complexe cubique CAT(0)
Résumé : Bien que le groupe des transformations birationnelles (isomorphismes entre deux ouverts) du plan projectif, appelé groupe de Cremona, soit issu de la géométrie algébrique, son action sur un espace hyperbolique a permis de grandes avancées dans l’étude de ce groupe. Récemment, avec Christian Urech, nous avons construit un complexe cubique CAT(0) sur lequel ce groupe agit de façon non-triviale et très naturellement. Dans cet exposé, nous construirons ce complexe et nous verrons quelques résultats que nous pouvons ainsi obtenir.


Léonard Cadilhac
Titre : Présentation des espaces Lp non-commutatifs
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai l’objet principal de ma recherche : les espaces Lp non-commutatifs. Ces derniers sont construits à partir des algèbres de von Neumann (des algèbres d’opérateurs) et donnent lieu à une version ”non-commutative” de l’analyse harmonique. Je développerai plus précisément des connexions récemment établies avec la théorie géométrique des groupes.


Sélim Ghazouani
Titre : Difféomorphismes du cercle avec cassures, renormalisation et géométrie lorentzienne des surfaces
Résumé : On sait depuis assez longtemps (moitié du vingtième siècle) que certaines classes de systèmes dynamiques différentiables vérifient des propriétés d’universalité et de rigidité. Grossièrement, cela veut dire que les propriétés géométriques de ces systèmes/familles de tels systèmes sont complètement déterminées par leur combinatoire. On trouvera des exemples de telles rigidités/universalités pour les difféomorphismes du cercle (théorie KAM puis travaux d’Herman et Yoccoz) et pour certainesclasses d’applications unimodales de l’intervalle (universalité de Feigenbaum, travaux de Sullivan et autres). Ces travaux sur la rigidité des systèmes dynamiques sont par ailleurs analogues à des théorèmes de rigidité en géométrie (Mostow, super-rigidité de Margulis, théorème des laminations terminales) au point qu’un certain nombre de structures de démonstration voyagent d’un monde à l’autre (dictionnaire de Sullivan). Dans cet exposé nous introduirons une nouvelle approche à la rigidité des homéomorphismes du cercle qui sont différentiables par morceaux. Cette approche se base sur une correspondance entre ces applications et leur théorie de la renormalisation d’une part et des surfaces lorentziennes à courbure constante (structures de Sitter) et l’action du groupe modulaire d’autre part.
Travail en commun avec Kostya Khanin.


Pierre-Alexandre Arlove
Titre : Métriques bi-invariantes sur le groupe des contactomorphismes.
Résumé : Dans le papier « Conjugation invariant norms on groups of geometric origin » D. Burago, S. Ivanov et L. Polterovich (2008) démontrent différents résultats de bornitude de métriques bi-invariantes sur le groupe des difféomorphismes d’une variété lisse. En revanche pour certaines variétés munies d’une structure de contact, S. Sandon puis plusieurs autres auteurs démontrent l’existence de métriques bi-invariantes non bornées sur le groupe des contactomorphismes (sous-groupe des difféomorphismes dont les éléments préservent la structure de contact), ou sur son revêtement universel. Je présenterai dans cet exposé un résultat qui caractérise certaines géodésiques d’une métrique bi-invariante particulière définie sur le groupe des contactomorphismes à support compact de R^2n x S^1 muni de sa structure de contact standard.

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Jeudi 17 septembre 14:00-15:30  
Exposés de doctorants

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Lieu : IMO, salle 0D1

Résumé : 14h-14h30 : Timothée Bénard, Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini
14h45 - 15h15 : Irving Calderon, Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières


Résumés :


Timothée Bénard : Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini

Soit S_0 une surface hyperbolique de volume fini, et S un Z^d-revêtement de S_0. La surface S est munie d’une action naturelle par isométries de Z^d, permettant d’identifier Z^d\S à S_0. Notons D_0 un domaine fondamental, et pour k dans Z^d, D_k=k.D_0. Considérons une marche aléatoire sur le fibré unitaire T^1S. Notant (x_n) une trajectoire typique, on s’intéresse à l’indice k_n du bloc contenant x_n, le n-ième itéré de la marche.
Nous montrerons que si D_0 est à bord compact, alors pour tout point de départ x_0, la suite k_n/n admet une limite (appelée dérive) que l’on peut expliciter.

Dans le cas contraire, nous verrons à travers l’exemple d’un Z-revêtement de la sphère à trois pointes, que la suite k_n/n peut ne pas converger, voir être asymptotiquement dense dans R.


Irving Calderon : Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières

Notre point de départ est le problème classique de déterminer quand deux formes quadratiques entières sont équivalentes à changement de base près. Parmi les gens qui ont contribué à ce problème, on peut citer C.F. Gauss, C.L. Siegel et M. Eichler. Li et Margulis publient en 2010 un critère effectif pour répondre a cette question. Le-voici pour des formes quadratiques en 3 variables :

Il existe une constante C>0 avec la propriété suivante : Si Q et R sont des formes quadratiques entières non-dégénerées en 3 variables Q et R non-dégénérées, indéfinies et GL(3,Z)-équivalentes, il existe g dans GL(d,Z) qui transforme Q en R avec norme au plus C(||Q||x||R||)^27 (||Q|| est le maximum des valeurs absolues des coefficients de Q).

Je vais présenter un critère un petit peu plus général que celui-ci, mais cette fois on s’intéresse à des formes quadratiques entières
GL(3,Z[1/p])-équivalentes, où p est un nombre premier. En plus de borner la norme d’une matrice g de passage de Q à R dans GL(3,Z[1/p]), on estime la puissance de p la plus grande qui apparaît dans le dénominateur des coefficients de g.

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Jeudi 17 septembre 14:00-15:00 Antoine Laurain  (Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo)
Séminaire AN-EDP : Shape optimization approach for sharp-interface reconstructions in inverse problems

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Lieu : LMO, 3L8

Résumé : Shape optimization approach for sharp-interface reconstructions in inverse problems
Working within the class of piecewise constant models, inverse problems can be recast as shape optimization problems where the discontinuity interface is the unknown. The sensitivity analysis of the cost functional relies on shape optimization techniques and in particular on the concept of shape derivatives. I will show several recent developments including a shape-Lagrangian approach for point measurements, and distributed shape derivatives for geometries with low regularity. Numerical results based on a level set approach will be presented for the inverse problems of electrical impedance tomography and full waveform inversion.

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Mardi 15 septembre 13:00-18:00 doctorants de deuxième année de l'équipe AGA  (IMO)
Après-midi des doctorants deuxième année (en présentiel avec masque)

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : En présentiel avec masque

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Jeudi 10 septembre 14:00-17:00  
Exposés de doctorants

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Résumé : 14h-14h30 : Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices
14h45-15h15 : Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection
15h30-16h : Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe
16h15-16h45 : Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier


Résumés


Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices

Étant donné une sous-variété legendrienne décrite par une famille génératrice, Henry et Rutherford proposent, dans un article de 2013, une famille à un paramètre de métriques riemanniennes pour laquelle ils conjecturent qu’en considérant de petits paramètres, les trajectoires de gradient rigides à extrémités fixées de la fonction différence associée à deux familles génératrices sont en correspondance bijective avec des courbes brisées en escalier. Ce résultat pourrait permettre de faire des avancées considérables sur la question de la classification des sous-variétés legendriennes, notamment en facilitant le calcul d’un invariant issu de la théorie de Morse qui a été introduit par Traynor en 2001.

Dans cet exposé, je souhaite discuter d’une stratégie de démonstration de cette correspondance bijective conjecturale et en particulier présenter un théorème de compacité qui en constitue le premier pas. Plus précisément, je montre que si les singularités du front de la sous-variété legendrienne sont toutes de codimension un, alors dans la limite de Henry et Rutherford, les trajectoires de gradient de la fonction différence « convergent », à extraction près, vers des chaînes d’escaliers.


Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection

We construct an example of a non-trivial homogeneous quasimorphism on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the 2- and 4-dimensional quadric which is continuous with respect to both C^0-topology and the Hofer metric. This answers a variant of a question of Entov-Polterovich-Py which is one of the open problems listed in the monograph of McDuff-Salamon.


Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe

Ainsi que l’a remarqué Benoist dans ses travaux sur les convexes divisibles, les variétés projectives convexes (quotients d’ouverts proprement convexes de l’espace projectif par des groupes de transformations projectives), munies de leur métrique de Hilbert, présentent de grandes similitudes avec les variétés riemanniennes de courbure négative (ou nulle). Par exemple, dans le cas compact et strictement convexe, leur flot géodésique est Anosov. De plus, une notion de variété projective convexe de rang 1, inspirée de la géométrie riemannienne, a récemment été proposée.
Nous nous intéressons aux propriétés dynamiques du flot géodésique. Prenant pour modèle un résultat célèbre de Knieper en géométrie riemannienne, nous présenterons l’unique mesure d’entropie maximale sur les variétés projectives convexes compactes de rang 1. La construction de cette mesure, et la preuve de son unicité, reposent sur un outil très général et puissant : les densités de Patterson—Sullivan, ou densités conformes.


Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier

Le bord de Poisson d’une marche aléatoire est une espace de probabilité qui décrit le comportement limite de la marche. Il est connu qu’un groupe est moyennable si et seulement s’il existe une mesure non-dégénéré tel que sa marche aléatoire sur le graphe de Cayley a un bord de Poisson trivial. Quand il agit sur une espace, le bord de la marche induite sur l’espace (et son graphe de Schreier) est un quotient du bord de la marche sur le groupe. On va présenter des résultats autour de la non-trivialité du bord de Poisson pour la marche induite sur le graphe de Schreier sur l’hypothèse que la mesure est de première moment fini. On va voire une application sur le groupe $F$ de Thompson, qui généralise un résultat de Kaimanovich (qui l’obtient pour les mesures de support fini). On va aussi décrire comment une approche similaire donne la non-trivialité du bord de Poisson des sous-groupes qui ne sont pas localement résolubles du groupe $H(\mathbbZ)$ d’homéomorphismes projectifs par morceaux. Ce groupe est présenté par Monod avec tout un classe de groupes $H(A)$ dans un article ou il démontre que pour tout sous-anneau $A$ des réels sauf $\mathbbZ$, $H(A)$ est un groupe non-moyennable sans sous-groupe libre.

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