Programme

Semestre S1

Algèbre

  • Algèbre (10 crédits)
  • Coordinateur : David Harari
  • Equipe pédagogique : Maria-Paula Gomez-Aparicio - Kevin Destagnol
  • Contenu
    1. Groupes finis : groupes cycliques, p-groupes, simplicité.
    2. Anneaux et modules :
      1. Généralités. Modules libres et déterminants.
      2. Anneaux de polynômes et noethérianité.
      3. Diviseurs élémentaires et modules sur les anneaux principaux.
    3. Théorie des corps :
      1. Extensions finies et algébriques.
      2. La correspondance de Galois.
      3. Corps algébriquement clos.
  • Volume Horaire : 50h de cours + 65h de TD (variante A) ou 30h de TD (variante B).
    Pour les travaux dirigés, l’étudiant choisira :

Soit la variante A (2 séances de travaux dirigés par semaine). La qualité de la participation à ces séances fournit la note C de contrôle continu.

Ou la variante B (1 séance de travaux dirigés par semaine avec obligation de rendre 2 devoirs faits à la maison qui seront dûment corrigés. La moyenne de ces 2 devoirs fournit la note C de contrôle continu)

  • Modalités de contrôle : sup (E,(E+P+C)/3) E=examen (commun aux variantes A et B), P=partiel (commun aux variantes A et B) , C=contrôle continu

Distributions et analyse de Fourier

  • Distributions et analyse de Fourier (10 crédits)
  • Coordinateur : Stéphane Nonnenmacher
  • Equipe pédagogique : Blanche Buet - Moritz Egert
  • Contenu :
    1. Distributions à une variable : fonctions d’essai, régularisation, dérivée d’une distribution, multiplication par une fonction régulière, restriction et support, convergence. Espaces de Sobolev sur un intervalle.
    2. Distributions à plusieurs variables. Mesure superficielle sur une hypersurface fermée, formule des sauts pour un ouvert régulier et formule d’intégration par tranches. Espaces de Sobolev sur un ouvert et formulation variationnelle du problème de Dirichlet.
    3. Transformation de Fourier des distributions tempérées et applications.
  • Volume Horaire : 115 (50h de cours et 65h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2) E=examen, P=partiel

Probabilités

  • Probabilités (10 crédits)
  • Coordinateur : Edouard Maurel-Segala
  • Equipe pédagogique : Sophie Lemaire et Nathanael Enriquez
  • Contenu :
    1. Espace de probabilité, variables aléatoires, distribution. Théorème de classe monotone.
    2. Indépendance, loi du 0-1, théorème de Borel-Cantelli.
    3. Convergence presque sûre, en probabilités, Lp. Convergence en loi, Théorème de P. Levy. Théorèmes limites : Loi forte des grandes nombres et théorème de la limite centrale. Vecteurs gaussiens : caractérisations, propriétés élémentaires. Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires.
    4. Espérances conditionnelles
    5. Modèles de Galton-Watson
    6. Chaîne de Markov associée à temps et espace discrets. Propriété de Markov forte. Théorie du potentiel. Récurrence et transience.
    7. Martingales, sur martingales (à temps discret), inégalités de Doob. Théorème d’arrêt, théorème de convergence presque sûre, convergence dans L1 et équi-intégrabilité, convergence dans Lp
  • Volume Horaire : 115 (50h de cours et 65h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Mathématiques Générales I, Analyse I

  • Mathématiques Générales I, Analyse I (10 crédits)
  • Coordinateur : Laurent Moonens
  • Equipe pédagogique : Emanuele Macri

Contenu Mathématiques générales

  1. Théorie des groupes
    1. Rappels de notions élémentaires : groupes, sous-groupes, groupes quotients, homomorphisme, théorème de structure.
    2. Action d’un groupe sur un ensemble, exemples et applications, groupes cycliques, groupe symétrique, groupes abéliens de type fini, produits semi-directs, exemples théorèmes de Sylow et applications.
  2. Représentations linéaires des groupes finis
    1. Définition, sous-représentations, morphismes et sommes directes.
    2. Théorème de complète réductibilité.
    3. Théorie des caractères, calcul de tables de caractères.
  3. Anneaux
    1. Rappels de notions élémentaires : anneaux, sous-anneaux, idéaux, homomorphismes, quotients et théorème de structure.
    2. Anneaux euclidiens, principaux et factoriels.
    3. Anneaux de polynômes.

Contenu Analyse

L’objectif de ce cours est de revenir sur des notions fondamentales d’analyse, puis de calcul différentiel, déjà abordées en L3 pour les approfondir et en donner des applications.

  1. Analyse harmonique sur le cercle : séries de Fourier
    Espaces de Hilbert
    Séries de Fourier L^2, L^1, C^0
    Séries de Fourier C^infini, équation de la chaleur sur le cercle
  1. Analyse complexe
    Quelques rappels d’analyse complexe
    Interpolation complexe et application aux séries de Fourier
  1. Analyse harmonique sur R^n : transformée de Fourier
    Transformée de Fourier sur L^1, sur l’espace de Schwarz
    Transformée de Fourier sur L^2
    Interpolation : transformée de Fourier sur L^p
    Fonctions de Hermite, équation de Schrödinger
  1. Analyse harmonique sur la sphère :
    Fonctions harmoniques sur R^d (principe du maximum, formule de Green, propriété de la moyenne)
    Polynômes harmoniques
    Théorème de Stone-Weierstrass
    Résolution du problème de Dirichlet dans la boule
    Laplacien sur la sphère, harmoniques sphériques
    Equation de la chaleur sur la sphère
  1. Géométrie différentielle : théorie élémentaire des groupes de Lie
    Sous-variétés, espace tangent, exemples
    Sous-groupes fermés de R^n
    Sous-groupes à un paramètre dans Gl_nR
    Sous-algèbres de Lie de M_nR
    Théorème de von Neumann (sous-groupes fermés de Gl_nR)
    Exemples : sous-groupes fermés de SO3 et Sl2
  • Volume Horaire : 120 (Cours/TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Algorithmique avancée

  • Algorithmique avancée (5 crédits)
  • Coordinateur : Laurent Rosaz
  • Equipe pédagogique : Laurent Rosaz

Paquet 1

  • Rappels de notions de complexité
  • Structure de données avancées de graphes + structures de données
    permettant des algorithmes efficaces optimaux (union-find)
  • Parcours (notions avancées)
  • Flots (Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp)
  • Arbre couvrant de poids Min, Plus Court Chemin

Paquet 2

  • Base de théorie de la complexité (P, NP, NPC, réduction
    polynomiale). A priori sans introduire les machines de Turing et en
    admettant SAT comme NP-complet.

Paquet 3

  • Programmation Linéaire : Simplexe/Dualité
  • Programmation Dynamique : Problème du Sac à dos

Paquet 4

  • Crypto (sensibilisation aux méthodes de chiffrement, les
    aspects protocoles sont vus en cours de sécurité, en L, M et en
    réseau).
  • Modalités de contrôle : 0.3 P+07 E
    P=partiel, E=examen

Semestre S2

Arithmétique

  • Arithmétique (10 crédits)
  • Coordinateur : Benjamin Schraen
  • Equipe pédagogique : Stéphane Fischler et Benjamin Schraen
  • Contenu :
    1. Etude approfondie de Z/nZ,
    2. Fonctions arithmétiques classiques, convolution,
    3. Séries de Dirichlet, fonction zéta, fonctions L, applications aux nombres premiers,
    4. Fractions continues, équation de Pell,
    5. Formes quadratiques binaires, nombres de classes,
    6. Groupe de classes d’idéaux d’un corps de nombres, lien avec les formes quadratiques.
  • Volume Horaire : 115 (50h de cours et 65h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Géométrie

  • Géométrie (10 crédits)
  • Coordinateur : Frédéric Paulin
  • Equipe pédagogique : Kevin Destagnol et Ramanujan Santharoubane
  • Contenu :
    1. Revêtements et groupe fondamental. Théorème de van Kampen.
    2. Homologie singulière. Applications à la topologie générale : théorème de Brouwer, invariance du domaine,
    3. Sous-variétés et variétés. Théorème de Whitney et de Sard.
    4. Courbures de courbes et et surfaces.

Références :

  • M. do Carmo, « Differential Geometry of Curves & Surfaces », Dover, 2016.
  • C. Godbillon, « Éléments de topologie algébrique », Hermann, 1971.
  • J. Lafontaine, « Introduction aux variétés différentielles », Press. Univ. Grenoble, 1996.
  • J. W. Milnor, « Topology from the differentiable viewpoint », Univ. Press Virginia, 1965.

F. Paulin, « Géométrie différentielle élémentaire », Notes de cours de première année de Master, Ecole Normale Supérieure, 2007, voir https://www.imo.universite-paris-sa... paulin/notescours/liste_notescours.html .

F. Paulin, « Topologie algébrique élémentaire », Notes de cours de première année de Master, Ecole Normale Supérieure, 2010, https://www.imo.universite-paris-sa... paulin/notescours/liste_notescours.html .

  • Volume Horaire : 115 (50h de cours et 65h de TD)

Au cours du semestre, les étudiants devront rédiger obligatoirement deux devoirs faits en temps libre chez eux et rendus aux dates fixées par l’enseignant.

  • Modalités de contrôle : au cours du semestre, les étudiants devront rédiger deux devoirs faits en temps libre chez eux. La note finale est donnée par sup (E, (E+P+(D1+D2)/2)/3)
  • E=examen, P=partiel, D1, D2 =devoir

Equations aux dérivées partielles d’évolution

  • Equations aux dérivées partielles d’évolution (10 crédits)
  • Coordinateur : Matthieu Léautaud
  • Equipe pédagogique : Matthieu Léautaud et Rémy Rodiac
  • Contenu : L’objectif de ce cours est de présenter un panorama des méthodes d’étude des équations aux dérivées partielles dites d’évolution, c’est-à-dire décrivant les phénomènes hors équilibre, en se limitant aux problèmes linéaires. Il s’agit donc d’un cours d’analyse, faisant suite au cours « Distributions et équations aux dérivées partielles ».
    1. Théorie des semi-groupes linéaires. Théorème de Hille-Yosida. Exemples d’applications : équations de la chaleur et des ondes dans un domaine, opérateurs autoadjoints et mécanique quantique.
    2. Méthode des caractéristiques pour les équations d’advection. Applications à l’équation des cordes vibrantes (formule de d’Alembert) et aux systèmes hyperboliques à une dimension et à coefficients constants.Usage de l’analyse de Fourier dans la résolution de problèmes d’évolution à coefficients constants. Exemples :équations de la chaleur, de Schrödinger, des ondes dans tout l’espace.
    3. Equations de transport, méthode des caractéristiques.
  • Volume Horaire : 115 (50 de cours et 65h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Statistiques

  • Statistiques (10 crédits)
  • Coordinateur : Elisabeth Gassiat
  • Equipe pédagogique : Elisabeth Gassiat et Zacharie Naulet
  • Contenu : En probabilité, on s’intéresse au comportement d’un processus aléatoire dont on connait la loi. En statistique, on considère donné (ou observé) un processus (ou une variable aléatoire), et l’on cherche à en déduire quelque chose de sa loi.
    L’objectif du cours est de donner les fondements de la théorie mathématique statistique.
    1. Théorie de la décision : formalisme général de la Statistique, fonction de perte, risque, décisions admissibles, bayésiennes, minimax... Modèle dominé, vraisemblance, exhaustivité, modèle exponentiel. Modèle gaussien.
    2. Estimation ; Estimateur bayésien, estimateur du maximum de vraisemblance, inégalité de Cramer-Rao, information de Fisher, consistance.
    3. Tests : Erreurs de première et seconde espèce, régions de confiance. Hypothèses simples et Lemme de Neyman-Pearson. Familles à rapport de vraisemblance monotone, tests UPP et UPPB. Tests non paramétriques. Analyse de la variance, régression.
  • Volume Horaire : 115 (50h de cours et 65h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Mathématiques Générales II, Analyse II

  • Mathématiques Générales II, Analyse II (10 crédits)
  • Coordinateur : Jean-François Babadjian
  • Equipe pédagogique : Joël Merker
  • Contenu Mathématiques générales :
    1. Réduction des endomorphismes : diagonalisation, invariants de similitude, forme de Jordan.
    2. Groupes de géométrie : groupe linéaire, transvections, groupe spécial linéaire.
    3. Formes bilinéaires symétriques, formes hermitiennes, formes quadratiques, produit scalaire.
    4. Construction et caractérisation du corps des réels (théorème de Hölder).
  • Contenu Analyse :
    L’objectif de ce cours est de visiter des théorèmes fondamentaux et des techniques classiques d’analyse, en restant dans le cadre du programme de l’agrégation ou dans son voisinage immédiat. L’accent sera mis sur les applications, qui pourront l’année suivante venir enrichir les plans de leçons, ou fournir des idées de développements d’agrégation. Ce cours pourra également intéresser des étudiants souhaitant renforcer leurs bases en analyse avant de s’engager dans un M2.
    Quelques thèmes qui pourront être abordés au cours du semestre
    1. Approximation polynomiale
    2. Techniques hilbertiennes
    3. Théorie ergodique
    4. Compacité et théorème d’Ascoli
    5. Séries (et transformée) de Fourier
    6. Fonctions analytiques, fonctions harmoniques en dimension 2
    7. Opérateurs compacts auto-adjoints
    8. Equations différentielles
  • Volume Horaire : 120
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

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Optimisation continue et combinatoire

  • Optimisation continue et combinatoire (5 crédits)
  • Responsable : Abdel Lisser
  • Contenu :
    1. Optimisation continue :
    2. Introduction à la programmation linéaire
    3. Méthode révisée du simplexe.
    4. Théorie de la dualité.
    5. Géométrie de la programmation linéaire.
    6. Analyse de la complexité et méthode de l’ellipsoïde.
    7. Méthodes de points intérieurs (MPI) : algorithmes primal-dual (complexité et analyse).
    8. Introduction à l’optimisation convexe : méthodes de gradient, conditions d’optimalité, méthodes sans gradient, MPI pour les problèmes convexes et complexité.
    9. Optimisation combinatoire :
    10. Bornes, optimalité et relaxation ; problèmes d’affectation et de couplages, programmation dynamique, Branch and Bound.
    11. Optimisation en présence d’incertitude :
    12. Optimisation robuste, introduction à l’optimisation stochastique.
    13. TP sur le logiciel de programmation linéaire CPLEX.
  • Volume horaire : 42
  • Modalités de contrôle : Session 1 : 1/3 partiel+ 2/3 examen terminal - Session 2 : examen terminal

Mathématiques pour l’intelligence artificielle 1 et 2

  • Mathématiques pour l’intelligence artificielle 1 (5 crédits)
  • Coordinateur : Gilles Blanchard
  • Equipe pédagogique : Gilles Blanchard et Christophe Giraud
  • Contenu : Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé. La première partie du cours Mathématiques pour l’Intelligence Artificielle couvrira une introduction aux méthodes d’apprentissage statistique et à leur analyse mathématique. Les thèmes traités seront :
    Introduction à la théorie de la décision : fonction de perte, risque, fonction de prédiction, erreur optimale, prédiction optimale. Aperçu des méthodes de classification linéaire. Introduction à la théorie de l’apprentissage statistique : estimation de l’erreur de généralisation, méthode de Chernoff, borne de Hoeffding, échantillon hold-out. Analyse statistique de la méthode des plus proches voisins. Méthodes à noyau : espaces à noyau autoreproduisants et applications. Théorie de l’apprentissage statistique : inégalité d’Azuma-Mcdiarmid, complexité de Rademacher, applications, dimension de Vapnik-Chervonenkis.
  • Mathématiques pour l’intelligence artificielle 2 (5 crédits)
  • Equipe pédagogique : Christophe Giraud
  • Contenu : Ce cours couvre les éléments de plusieurs domaines mathématiques fondamentaux utilisés pour l’apprentissage automatisé.
    Cette UE correspondant à la deuxième partie de ce cours comporte deux sous-parties.
    La première sous-partie traite de l’analyse mathématique de problèmes d’apprentissage séquentiel dans différents cadres. On y introduit les thèmes communs à ceux-ci : apprentissage en environnement inconnu, compromis exploration/exploitation, apprentissage basé sur des experts, bornes inférieures utilisant des outils de la théorie de l’information.
    La deuxième partie se concentrera sur des aspects théoriques de l’apprentissage utilisant des outils d’analyse et d’algèbre linéaire, avec des applications à la détection de motifs ou de structures dans les données.
  • Volume Horaire : 48+48
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Langues

  • Langues (5 crédits)
  • Coordinateur pour l’Anglais : Philippe Jumel
  • Contenu : Consolidation et approfondissement des cinq compétences langagières autour d’un thème hebdomadaire choisi par l’enseignant (à titre indicatif, l’an dernier : comment définir les mathématiques, de l’utilité des mathématiques, le monde des chiffres, le Big Data, le Temps, les prix et récompenses scientifiques, Léonard de Vinci : l’homme et son œuvre (à l’occasion du 500e anniversaire de sa mort) à travers l’étude d’articles de presse, de documents audio et vidéo. Les étudiants sont tenus de faire une présentation orale et de participer à des jeux de rôle pendant le semestre.
    Un travail sur la phonologie est effectué en parallèle.
  • Volume horaire : 25
  • Modalités de contrôle :
    Participation en cours (20%) - Présentation orale (20%) - Mini tests et travaux écrits divers (QCM, phonologie, chiffres...) (30%) - Test de fin de semestre (30%)
  • Pour une inscription à une langue autre que l’Anglais, l’étudiant s’adressera directement au Département des Langues, Bureau LC353 / Bâtiment Eiffel 8-10 rue Joliot-Curie 91190 Gif-sur-Yvette auprès de Mme Véronique Gaudelet

MAO Option Calcul formel

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Calcul formel (5 crédits)
  • Coordinateur : Stéphane Fischler et Kevin Destagnol
  • Equipe pédagogique : Stéphane Fischler et Kevin Destagnol
  • Contenu : Le but du module est d’utiliser un système de calcul formel (Sage), pour approfondir certaines notions d’algèbre et d’arithmétique. Les thèmes principaux du cours sont :
    1. Exponentiation rapide
    2. Algorithme d’Euclide
    3. Corps finis
    4. Factorisation dans Z/pZ[X]
    5. Factorisation dans Z[X]
    6. Résultants et applications géométriques
    7. Tests de primalité
    8. Factorisation d’entiers et introduction au cryptosystème RSA
  • Volume Horaire : 50 (25h de cours et 25h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

MAO Option Calcul scientifique

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Calcul scientifique (5 crédits)
  • Coordinateur : Quentin Mérigot et Luca Nenna
  • Contenu : L’objectif de ce cours est d’introduire quelques méthodes numériques pour l’approximation des
    solutions aux équations à dérivées partielles. Une partie du cours est consacrée à la mise en œuvre de ces méthodes (algèbre linéaire numérique, programmation en Python/Numpy) et une autre à l’analyse de convergence et aux propriétés des solutions discrètes.

Partie I : différences finies

1. Schémas aux différences finies pour les équations d’évolution, théorème de Lax
2. Équation de la chaleur : principe du maximum, schémas explicites et implicites
3. Équation de transport : schéma « upwind », schéma de Lax-Wendroff

Partie II : éléments finis

4. Méthode des éléments finis pour les problèmes variationnels, théorème de Lax-Milgram
5. Approximation des solutions de l’équation de Poisson
6. Approximation des valeurs / vecteurs propres du Laplacien
7. Approximation de problèmes variationnels avec contraintes (obstacle)

  • Volume Horaire : 50 (25h de cours et 25h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

MAO Option Probabilités-Statistiques

  • Mathématiques assistées par ordinateur, Option Probabilités-Statistiques (5 crédits)
  • Coordinateur : Paul Melotti
  • Contenu : Ce cours vise à reprendre un certain nombre d’éléments de la théorie des probabilités et des statistiques, en exploitant l’outil informatique pour illustrer ces éléments, observer leurs propriétés et tenter de les deviner quand on est confronté à des données ou à un modèle. L’esprit se veut proche de celui de l’épreuve de modélisation à l’oral de l’agrégation. On utilisera pour les simulations informatiques Python avec les bibliothèques Numpy et Scipy. le plan en sera le suivant. Dans tous les cas, les résultats théoriques seront appliqués à des modèles classiques, et chaque chapitre aura ses applications statistiques (estimation de paramètres, tests d’hypothèses).
    1. Simulation de variables aléatoires
      On décrira différentes méthodes permettant de simuler sur ordinateur des variables aléatoires de loi voulue. On verra à la fois les commandes Python et les méthodes théoriques.
    2. Lois classiques, représentations et analyse de données
      On discutera un certain nombre de lois classiques et leurs propriétés, on verra comment en donner des représentations graphiques et comment se servir de ces représentations pour identifier les lois pertinentes lors de l’analyse d’un jeu de données.
    3. Convergence de variables aléatoires
      Ici on verra comment illustrer les différents modes de convergence de suites variables aléatoires, ce qui permettra, une fois un modèle simulé, d’intuiter ses propriétés asymptotiques.
    4. Grands théorèmes de convergence
      on discutera loi des grands nombres et théorème de la limite centrale sous leurs hypothèses usuelles, et on verra comment obtenir prouver des conclusions similaires dans les cas où les hypothèses ne sont pas vérifiées.
    5. simulation par chaîne de Markov
      On verra d’abord comment simuler une chaîne de Markov de loi voulue par l’algorithme de Metropolis-Hastings, puis comment utiliser cet algorithme pour des estimations par méthode de Monte-Carlo, et pour résoudre des problèmes d’optimisation ou de résolution numérique d’équations aux dérivées partielles.
    6. Martingales et applications
      On verra sans les démontrer un certain nombre de propriétés du type loi des grands nombres et théorème de la limite centrale pour des martingales, puis on les exploitera pour résoudre des problèmes d’optimisation.
  • Les pré-requis : il sera fortement recommandé d’avoir suivi le cours de probabilités et statistiques du premier semestre du M1, et en tout cas nécessaire de connaître le contenu d’un cours de L3. Il ne sera pas nécessaire d’avoir déjà pratiqué le langage Python.
  • Bibliographie
    M. Benaïm, N. El Karoui, Promenade aléatoire, chaînes de Markov et simulations ; martingales et stratégies.
    B. Bercu, D. ChafaÏ, Modélisation stochastique et simulation.
    J.F. Delmas, B. Jourdain, Modèles aléatoires, applications aux sciences de l’ingénieur et du vivant.
    R. Durrett, Probability : theory and examples.
    V. Rivoirard, G. Stolz, Statistique mathématique en action.
  • Déroulement et organisation pratique
    Ce module alternera des séances de cours/TD et de travaux pratiques
  • Volume Horaire : 50h (25h de cours et 25h de TD)
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Projet

  • Projet (10 crédits)
  • Coordinateur :
  • Equipe pédagogique : Les membres du laboratoire de Mathématiques
  • Contenu :
Le projet est l’occasion d’approfondir sa culture mathématique et d’effectuer une initiation à la recherche. L’objectif est d’apprendre un sujet accessible ou même original, via la lecture d’articles ou de chapitres de livres, sous la direction d’un enseignant-chercheur. Le travail (qui s’effectuera suivant les années en binôme) a lieu du début à la fin du second semestre, en rencontrant régulièrement l’encadrant. Une liste de projets sera disponible sur DOKEOS en fin de premier semestre, mais il est possible de contacter le responsable de l’UE Projet pour des suggestions d’encadrants dans une thématique spécifique. A la fin du projet, l’étudiant doit avoir rédigé un petit texte de 10 à 15 pages (en LaTeX) et faire un exposé résumant ce qu’il a appris. Il faut une note au moins égale à 10 pour valider son travail. Les points pris en compte pour l’évaluation sont - qualité de la soutenance orale (choix et organisation du matériel, exemples, arguments clefs, existence d’un but à l’exposé, aisance d’expression, ...) - quantité de travail (régularité, progression, automonie, profondeur de la compréhension, originalité des arguments, recul, développement d’exemples, recherches bibliographiques, ...) - qualité de la rédaction (mathématique, linguistique et typographique).

Logique

  • Logique (5 crédits)
  • Coordinateur : Franck Benoist
  • Equipe pédagogique : Franck Benoist
  • Contenu : Le but de ce cours introductif est de présenter un panorama des différentes branches de la logique.
    1. Calcul des prédicats. Logique du premier ordre, formules, théories, modèles.
    2. Théorie des ensembles. Axiomes de Zermelo-Fraenkel. Axiome du choix. Ordinaux. Cardinaux.
    3. Théorie des modèles.Théorème de complétude. Théorème de compacité et applications. Ultra-produits.
    4. Récursivité. Fonctions primitives récursives, récursives. Machines de Turing.
    5. Arithmétique. Axiomes de Péano. Théorème d’incomplétude de Gödel.
  • Volume Horaire : 50
  • Modalités de contrôle : max(E,(E+P)/2)
    E=examen, P=partiel

Histoire des Mathématiques

  • Histoire des Mathématiques (5 crédits)
  • Coordinateur : Andrea Bréard
  • Contenu :
Un module d’histoire des mathématiques en master de sciences et technologie mention mathématiques répond à un double objectif, tant pour les masters recherche que les masters professionnels. Tout en permettant de travailler autrement des contenus mathématiques, il donnera l’occasion de situer des enjeux d’ordre épistémologique et d’ordre culturel de la discipline et de ses applications à travers l’histoire. En s’attachant à l’histoire de notions mathématiques, que les étudiants ont fréquentées depuis leurs études secondaires jusqu’à leur dernière année de licence, il s’agira de montrer comment ont pu se construire, dans les pratiques même de mathématiciens de différentes époques et cultures, des concepts et des résultats considérés aujourd’hui comme universels. On examinera des dispositifs scientifiques comme les outils théoriques, les modes d’argumentation, les perspectives sur la réalité mathématique et leur relation à d’autres dispositifs culturels. Le module optionnel, de 25 heures (5 ECTS), sera proposé à la fois aux étudiants de M1 et de M2 sur un semestre. Il sera organisé, dans la proportion de un tiers / deux tiers, en cours et TD. Les séances de TD seront consacrées à un travail sur des textes mathématiques originaux et la discussion de travaux de recherche (la plupart en langue anglaise) culturels.
  • Volume Horaire : 25
  • Modalités de contrôle : rapport écrit de 5 à 10 pages