Bornitude des opérateurs bilinéaires dont le symbole est supporté au voisinage d’une courbe

Lundi 7 mars 2011 14:00-15:00 - Bernicot Frédéric - Univ. Lille 1

Résumé : Lors de cet exposé, je présenterai un travail (avec Pierre Germain) concernantdes estimations bilinéaires (apparaissant dans la methode de raisonancesspatio-temporelles, une version bilinéaire du problème de Bochner-Riesz ...). Plusprécisément, nous considérerons des multiplicateurs bilinéaires $T_m$ sur $mathbbR$, qui peuvent s’écrire avec un symbole $m$ sous la forme
$$ T(f,g)(x) :=int_mathbb R2 e^ix(xi+eta) widehatf(xi) widehatg(eta)m(xi,eta) dxi deta.$$
On s’interessera alors au cas particulier de symboles $m_epsilon$ supporté dans un$epsilon$-voisinage d’une courbe $Gammasubset mathbb R2$ et régulier a l’echelle$epsilon$. Alors, la question générale est la suivante : pour $p,q,rin[1,infty]$ desexposants vérifiant la un scaling « sous-H »olderien« 
$$ frac1p + frac1q+frac1r leq 1,$$
quel est l’exposant optimal $rho :=rho(Gamma,p,q,r) leq 1$ tel que pour tout$epsilon>0$ assez petit
$$ | T_m_epsilon|_L^p times L^q rightarrow L^r’
leq epsilon^rho ?$$
A l’aide des inégalités de Rubio de Francia sur les fonctionnelles carrées et desarguments du type »$TT^*$, une réponse complète peut etre obtenue dans le caslocal-$L2$ (quand $p,q,rgeq 2$). Sinon la géometrie de la courbe $Gamma$ (courbure etdegenerescence) commence a jouer un role, que nous etudierons avec des arguments $TT^*$.

Lieu : bât. 425 - 113-115

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