Classe d’Atiyah arithmétique des fibrés vectoriels hermitiens

Mardi 20 janvier 2009 16:00-17:00 - Bost Jean-benoît - Orsay

Résumé : Dans un précédent travail, nous avons défini des groupes d’extensions arithmétiques dans le contexte de la géométrie d’Arakelov. Dans cet exposé, je discuterai un analogue arithmétique de l’extension d’Atiyah ; sa classe dans un groupe d’extensions arithmétiques convenable définit la classe d’Atiyah arithmétique.Plus précisément, pour tout fibré vectoriel hermitien $\overlineE$ sur un schéma $X$ de type fini sur $\bf Z$, sa classe d’Atiyah arithmétique $\widehat\rm at_X/\bf Z(\overlineE)$ appartient au groupe
$\widehat\rm Ext^1_X(E,E\otimes\Omega_X/\bf Z^1)$ et constitue une obstruction à l’algébricité sur $X$ de l’unique connection unitaire sur la fibré vectoriel $E_\bf C$ sur la variété complexe $X(\bf C)$ qui soit compatible avec sa structure holomorphe.
L’étude des fibrés vectoriels hermitiens dont la classe d’Atiyah arithmétique est nulle conduit à des questions « concrètes » en géométrie diophantienne, notamment : soit $(E, \nabla)$ un fibré vectoriel muni d’une connexion intégrable sur une variété projective lisse $X$, définis sur $\overline\bf Q ;$ si la monodromie de $(E, \nabla)$ est unitaire, est-elle nécessairement
finie ?

Lorsque $E$ est de rang 1, nous montrons à l’aide de résultats de transcendance que la réponse à cette question est positive. Il n’en va pas de même en rang plus grand, où la théorie des variétés de Shimura et des fibrés vectoriels automorphes, ainsi que celle des blocs conformes, fournissent des contre-exemples remarquables.

Lieu : bât. 425 - 113-115

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