Comment les mesures de SRB dépendent-elles des paramètres ?

Jeudi 21 février 2008 14:00-15:00 - Baladi Viviane - ENS

Résumé : Les bons systèmes dynamiques chaotiques possèdent une unique mesure SRB. (En dimension un il s’agit simplement d’une mesure de probabilité invariante ergodique et absolument continue par rapport à Lebesgue, avec exposant de Lyapounov strictement positif.)
Si l’on considère une famille f_t de systèmes dynamiques dépendant assez différentiablement d’un paramètre t, on peut se demander comment cette mesure mu_t (pour une norme appropriée) dépend du paramètre. D. Ruelle a suggéré que, dans un cadre assez vaste, cette dépendance pourrait être différentiable (au sens de Whitney, si l’ensemble des bons paramètres n’est pas un voisinage) et a proposé un candidat pour la dérivée, sous forme de série a priori divergente. En considérant avec D. Smania le cas non connu le plus simple, les applications dilatantes par morceaux en dimension un, nous avons vu apparaître en 2007 une condition suffisante et nécessaire pour la différentiabilité en 0 de mu_t (en tant que mesure de Radon) : que la famille f_t soit tangente en 0 à la classe topologique de f_0. La valeur de la dérivée coïncide alors avec le candidat de Ruelle, resommé de façon appropriée.
Après avoir discuté ce résultat, nous mentionnerons des résultats plus récents dans le cas non-uniformément hyperbolique.

Lieu : bât. 425 - 121-123

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