Cônes minimaux de dimension 2 dans $R^4$

Lundi 14 décembre 2009 14:00-15:00 - Xiangyu liang - Orsay

Résumé : Un ensemble minimal est un fermé dont une déformation Lipschitzienne locale ne diminue jamais la mesure. Le résultat de régularité donné par Jean Taylor dit que tous les ensemble minimaux de dimension 2 dans $R^3$ sont localement des versions $C^1$ des cônes minimaux (types de singularité). En dimension ambiante arbitraire, Guy David montre la régularité bi-höldérienne. En revanche la preuve de la régularité de l’ordre $C^1$ dépend vraisemblablement du type du cône auquel l’ensemble ressemble localement. On connait déjà la liste complète des cônes minimaux dans $R^3$, il n’y en a que 3, et de topologies complètement différentes.
Pourtant, peu est connu sur la liste des cônes minimaux dans dimensions ambiantes plus élevées, même dans $R^4$.
On va donc essayer de montrer la minimalité d’une famille de cônes à un paramètre connexe, qui sont des union de 2 plans presque orthogonaux (et donc transverses), en profitant d’un théorème faible d’existence, et en essayant de dire qu’aller loin de l’union de deux plans coûte plus cher que la mesure qu’on peut gagner par pincement. L’estimation utilise un argument de projection pour des régions inconnues, et un argument d’extension harmonique pour la région qu’on connait mieux.

Lieu : bât. 425 - 113-115

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