Croissance des nombres de Betti des espaces localement symétriques

Jeudi 2 février 2012 14:00-15:00 - Jean Raimbault - Paris 6

Résumé : L’étude du noyau de la chaleur sur les k-formes permet d’établir que si $M_n$ est une suite d’espaces localement symétriques compacts modelés sur $X=G/K$ dont le rayon d’injectivité tend vers l’infini alors la suite des nombres de Betti normalisés $b_k(M_n)/vol(M_n)$ tend vers une constante ne dépendant que du groupe de Lie simple G (par exemple,cette constante pour l’espace hyperbolique $mathbbH^n$ est nulle sauf pour $k=n/2$ si n est pair). Il est facile de voir qu’on n’a en fait besoin que de l’hypothèse que pour tout $R>0$ la partie R-fine de $M_n$ a un volume négligeable devant $vol(M_n)$ et que le rayon d’injectivité des $M_n$ est borné inférieurement. Une formulation probabiliste de cette hypothèse donne lieu à la notion de « convergence locale » inspirée d’une notion analogue pour les graphes due à I. Benjamini et O. Schramm, et à remplacer l’étude des réseaux par celle de « sous-groupe aléatoire invariants » (IRS en anglais abrégé). Un résultat de G. Stück et R. Zimmer donne alors une classification complète de ces IRS quand le rang réel $rg(G)$ de G est au moins 2, qui implique le résultat suivant : Si $rg(G)le 2$ et $M_n$ est une suite infinie d’espaces localement symétriques compacts modelés sur X dont le rayon d’injectivité est borné inférieurement alors $b_k(M_n)/vol(M_n)$ tend vers 0 si $kneq n/2$ et vers une constante $c_G$ si $k = n/2$. Dans le cas où rg(G) = 1 ce résultat est faux du fait que l’on a alors de nombreux IRS, en particulier si $G = SO(n,1)$ on a une construction assez surprenante d’IRS à partir de mesures invariantes par décalage sur $0,1^mathbbZ$.(travail en commun avec Miklos Abert, Nicolas Bergeron, Ian Biringer, Tsachik Gelander, Nikolai Nikolov et Iddo Samet)

Lieu : bât. 425 - 121-123

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