Exposés de doctorants

Jeudi 17 septembre 14:00-15:30

Résumé : 14h-14h30 : Timothée Bénard, Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini
14h45 - 15h15 : Irving Calderon, Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières


Résumés :


Timothée Bénard : Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini

Soit S_0 une surface hyperbolique de volume fini, et S un Z^d-revêtement de S_0. La surface S est munie d’une action naturelle par isométries de Z^d, permettant d’identifier Z^d\S à S_0. Notons D_0 un domaine fondamental, et pour k dans Z^d, D_k=k.D_0. Considérons une marche aléatoire sur le fibré unitaire T^1S. Notant (x_n) une trajectoire typique, on s’intéresse à l’indice k_n du bloc contenant x_n, le n-ième itéré de la marche.
Nous montrerons que si D_0 est à bord compact, alors pour tout point de départ x_0, la suite k_n/n admet une limite (appelée dérive) que l’on peut expliciter.

Dans le cas contraire, nous verrons à travers l’exemple d’un Z-revêtement de la sphère à trois pointes, que la suite k_n/n peut ne pas converger, voir être asymptotiquement dense dans R.


Irving Calderon : Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières

Notre point de départ est le problème classique de déterminer quand deux formes quadratiques entières sont équivalentes à changement de base près. Parmi les gens qui ont contribué à ce problème, on peut citer C.F. Gauss, C.L. Siegel et M. Eichler. Li et Margulis publient en 2010 un critère effectif pour répondre a cette question. Le-voici pour des formes quadratiques en 3 variables :

Il existe une constante C>0 avec la propriété suivante : Si Q et R sont des formes quadratiques entières non-dégénerées en 3 variables Q et R non-dégénérées, indéfinies et GL(3,Z)-équivalentes, il existe g dans GL(d,Z) qui transforme Q en R avec norme au plus C(||Q||x||R||)^27 (||Q|| est le maximum des valeurs absolues des coefficients de Q).

Je vais présenter un critère un petit peu plus général que celui-ci, mais cette fois on s’intéresse à des formes quadratiques entières
GL(3,Z[1/p])-équivalentes, où p est un nombre premier. En plus de borner la norme d’une matrice g de passage de Q à R dans GL(3,Z[1/p]), on estime la puissance de p la plus grande qui apparaît dans le dénominateur des coefficients de g.

Lieu : IMO, salle 0D1

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