Prochainement

Jeudi 1er octobre 14:00-15:00 Bertrand Deroin  (Cergy-Pontoise)
Non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang supérieur

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Lieu : 2L8

Résumé : Je décrirai un travail en collaboration avec Sebastian Hurtado dans lequel on démontre qu’un réseau irréductible dans un groupe de Lie semi-simple de centre fini et de rang supérieur à deux ne peut être ordonné à gauche. De façon équivalente, ces réseaux n’ont aucune action par homéomorphismes sur la droite réelle.

Notes de dernières minutes : Café culturel assuré à 13h par Jean Lécureux

Non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang supérieur  Version PDF

Jeudi 8 octobre 14:00-15:00 Adrien Boyer (Université de Paris)
Titre à venir

Passés

Lundi 21 septembre 12:00-18:05  
Journée de rentrée de l’équipe Topologie et Dynamique

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Lieu : IMO, Amphi Yoccoz

Résumé :
12h00 - 14h00 : Repas
14h00 - 14h30 : Réunion d’équipe
14h35 - 15h20 : Anne Lonjou
15h25 - 16h10 : Léonard Cadilhac
16h30 - 17h15 : Pierre-Alexandre Arlove
17h20 - 18h05 : Sélim Ghazouani


Titres et Résumés :


Anne Lonjou
Titre : Actions du groupe de Cremona sur un complexe cubique CAT(0)
Résumé : Bien que le groupe des transformations birationnelles (isomorphismes entre deux ouverts) du plan projectif, appelé groupe de Cremona, soit issu de la géométrie algébrique, son action sur un espace hyperbolique a permis de grandes avancées dans l’étude de ce groupe. Récemment, avec Christian Urech, nous avons construit un complexe cubique CAT(0) sur lequel ce groupe agit de façon non-triviale et très naturellement. Dans cet exposé, nous construirons ce complexe et nous verrons quelques résultats que nous pouvons ainsi obtenir.


Léonard Cadilhac
Titre : Présentation des espaces Lp non-commutatifs
Résumé : Dans cet exposé, je présenterai l’objet principal de ma recherche : les espaces Lp non-commutatifs. Ces derniers sont construits à partir des algèbres de von Neumann (des algèbres d’opérateurs) et donnent lieu à une version ”non-commutative” de l’analyse harmonique. Je développerai plus précisément des connexions récemment établies avec la théorie géométrique des groupes.


Sélim Ghazouani
Titre : Difféomorphismes du cercle avec cassures, renormalisation et géométrie lorentzienne des surfaces
Résumé : On sait depuis assez longtemps (moitié du vingtième siècle) que certaines classes de systèmes dynamiques différentiables vérifient des propriétés d’universalité et de rigidité. Grossièrement, cela veut dire que les propriétés géométriques de ces systèmes/familles de tels systèmes sont complètement déterminées par leur combinatoire. On trouvera des exemples de telles rigidités/universalités pour les difféomorphismes du cercle (théorie KAM puis travaux d’Herman et Yoccoz) et pour certainesclasses d’applications unimodales de l’intervalle (universalité de Feigenbaum, travaux de Sullivan et autres). Ces travaux sur la rigidité des systèmes dynamiques sont par ailleurs analogues à des théorèmes de rigidité en géométrie (Mostow, super-rigidité de Margulis, théorème des laminations terminales) au point qu’un certain nombre de structures de démonstration voyagent d’un monde à l’autre (dictionnaire de Sullivan). Dans cet exposé nous introduirons une nouvelle approche à la rigidité des homéomorphismes du cercle qui sont différentiables par morceaux. Cette approche se base sur une correspondance entre ces applications et leur théorie de la renormalisation d’une part et des surfaces lorentziennes à courbure constante (structures de Sitter) et l’action du groupe modulaire d’autre part.
Travail en commun avec Kostya Khanin.


Pierre-Alexandre Arlove
Titre : Métriques bi-invariantes sur le groupe des contactomorphismes.
Résumé : Dans le papier « Conjugation invariant norms on groups of geometric origin » D. Burago, S. Ivanov et L. Polterovich (2008) démontrent différents résultats de bornitude de métriques bi-invariantes sur le groupe des difféomorphismes d’une variété lisse. En revanche pour certaines variétés munies d’une structure de contact, S. Sandon puis plusieurs autres auteurs démontrent l’existence de métriques bi-invariantes non bornées sur le groupe des contactomorphismes (sous-groupe des difféomorphismes dont les éléments préservent la structure de contact), ou sur son revêtement universel. Je présenterai dans cet exposé un résultat qui caractérise certaines géodésiques d’une métrique bi-invariante particulière définie sur le groupe des contactomorphismes à support compact de R^2n x S^1 muni de sa structure de contact standard.

Journée de rentrée de l’équipe Topologie et Dynamique  Version PDF
Jeudi 17 septembre 14:00-15:30  
Exposés de doctorants

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Lieu : IMO, salle 0D1

Résumé : 14h-14h30 : Timothée Bénard, Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini
14h45 - 15h15 : Irving Calderon, Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières


Résumés :


Timothée Bénard : Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini

Soit S_0 une surface hyperbolique de volume fini, et S un Z^d-revêtement de S_0. La surface S est munie d’une action naturelle par isométries de Z^d, permettant d’identifier Z^d\S à S_0. Notons D_0 un domaine fondamental, et pour k dans Z^d, D_k=k.D_0. Considérons une marche aléatoire sur le fibré unitaire T^1S. Notant (x_n) une trajectoire typique, on s’intéresse à l’indice k_n du bloc contenant x_n, le n-ième itéré de la marche.
Nous montrerons que si D_0 est à bord compact, alors pour tout point de départ x_0, la suite k_n/n admet une limite (appelée dérive) que l’on peut expliciter.

Dans le cas contraire, nous verrons à travers l’exemple d’un Z-revêtement de la sphère à trois pointes, que la suite k_n/n peut ne pas converger, voir être asymptotiquement dense dans R.


Irving Calderon : Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières

Notre point de départ est le problème classique de déterminer quand deux formes quadratiques entières sont équivalentes à changement de base près. Parmi les gens qui ont contribué à ce problème, on peut citer C.F. Gauss, C.L. Siegel et M. Eichler. Li et Margulis publient en 2010 un critère effectif pour répondre a cette question. Le-voici pour des formes quadratiques en 3 variables :

Il existe une constante C>0 avec la propriété suivante : Si Q et R sont des formes quadratiques entières non-dégénerées en 3 variables Q et R non-dégénérées, indéfinies et GL(3,Z)-équivalentes, il existe g dans GL(d,Z) qui transforme Q en R avec norme au plus C(||Q||x||R||)^27 (||Q|| est le maximum des valeurs absolues des coefficients de Q).

Je vais présenter un critère un petit peu plus général que celui-ci, mais cette fois on s’intéresse à des formes quadratiques entières
GL(3,Z[1/p])-équivalentes, où p est un nombre premier. En plus de borner la norme d’une matrice g de passage de Q à R dans GL(3,Z[1/p]), on estime la puissance de p la plus grande qui apparaît dans le dénominateur des coefficients de g.

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Jeudi 10 septembre 14:00-17:00  
Exposés de doctorants

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Résumé : 14h-14h30 : Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices
14h45-15h15 : Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection
15h30-16h : Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe
16h15-16h45 : Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier


Résumés


Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices

Étant donné une sous-variété legendrienne décrite par une famille génératrice, Henry et Rutherford proposent, dans un article de 2013, une famille à un paramètre de métriques riemanniennes pour laquelle ils conjecturent qu’en considérant de petits paramètres, les trajectoires de gradient rigides à extrémités fixées de la fonction différence associée à deux familles génératrices sont en correspondance bijective avec des courbes brisées en escalier. Ce résultat pourrait permettre de faire des avancées considérables sur la question de la classification des sous-variétés legendriennes, notamment en facilitant le calcul d’un invariant issu de la théorie de Morse qui a été introduit par Traynor en 2001.

Dans cet exposé, je souhaite discuter d’une stratégie de démonstration de cette correspondance bijective conjecturale et en particulier présenter un théorème de compacité qui en constitue le premier pas. Plus précisément, je montre que si les singularités du front de la sous-variété legendrienne sont toutes de codimension un, alors dans la limite de Henry et Rutherford, les trajectoires de gradient de la fonction différence « convergent », à extraction près, vers des chaînes d’escaliers.


Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection

We construct an example of a non-trivial homogeneous quasimorphism on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the 2- and 4-dimensional quadric which is continuous with respect to both C^0-topology and the Hofer metric. This answers a variant of a question of Entov-Polterovich-Py which is one of the open problems listed in the monograph of McDuff-Salamon.


Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe

Ainsi que l’a remarqué Benoist dans ses travaux sur les convexes divisibles, les variétés projectives convexes (quotients d’ouverts proprement convexes de l’espace projectif par des groupes de transformations projectives), munies de leur métrique de Hilbert, présentent de grandes similitudes avec les variétés riemanniennes de courbure négative (ou nulle). Par exemple, dans le cas compact et strictement convexe, leur flot géodésique est Anosov. De plus, une notion de variété projective convexe de rang 1, inspirée de la géométrie riemannienne, a récemment été proposée.
Nous nous intéressons aux propriétés dynamiques du flot géodésique. Prenant pour modèle un résultat célèbre de Knieper en géométrie riemannienne, nous présenterons l’unique mesure d’entropie maximale sur les variétés projectives convexes compactes de rang 1. La construction de cette mesure, et la preuve de son unicité, reposent sur un outil très général et puissant : les densités de Patterson—Sullivan, ou densités conformes.


Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier

Le bord de Poisson d’une marche aléatoire est une espace de probabilité qui décrit le comportement limite de la marche. Il est connu qu’un groupe est moyennable si et seulement s’il existe une mesure non-dégénéré tel que sa marche aléatoire sur le graphe de Cayley a un bord de Poisson trivial. Quand il agit sur une espace, le bord de la marche induite sur l’espace (et son graphe de Schreier) est un quotient du bord de la marche sur le groupe. On va présenter des résultats autour de la non-trivialité du bord de Poisson pour la marche induite sur le graphe de Schreier sur l’hypothèse que la mesure est de première moment fini. On va voire une application sur le groupe $F$ de Thompson, qui généralise un résultat de Kaimanovich (qui l’obtient pour les mesures de support fini). On va aussi décrire comment une approche similaire donne la non-trivialité du bord de Poisson des sous-groupes qui ne sont pas localement résolubles du groupe $H(\mathbbZ)$ d’homéomorphismes projectifs par morceaux. Ce groupe est présenté par Monod avec tout un classe de groupes $H(A)$ dans un article ou il démontre que pour tout sous-anneau $A$ des réels sauf $\mathbbZ$, $H(A)$ est un groupe non-moyennable sans sous-groupe libre.

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