Intégration convexe, plongements isométriques et visualisation

Jeudi 8 décembre 2011 14:00-15:00 - Vincent Borrelli - Lyon 1

Résumé : En 1954, J. Nash énonce un théorème déconcertant : il n’y a pasd’obstruction à l’existence de plongements isométriques en petitecodimension ! Complété par N. Kuiper, son résultat implique qu’il existedes plongements isométriques de tores plats dans l’espace euclidien dedimension trois mais aussi, que l’on peut plonger isométriquement lasphère ronde de rayon 1 dans une boule de rayon $\frac12$ ou encore,que l’on peut effectuer le retournement de la sphère de façonisométrique... Bien sûr, la courbure de Gauss interdit à tous ces objetsd’être de classe $C2$, mais ils sont tout de même de classe $C1$ etpossèdent en tout point un espace tangent. Plus tard, en revisitant lestravaux de nombreux géomètres, M. Gromov invente une technique quigénéralise et éclaire de façon extraordinaire la manière dont J. Nash etN. Kuiper ont construit leurs plongements isométriques : c’est latechnique de l’intégration convexe. A l’aide de cette méthode, uneimplémentation est possible et la visualisation des plongements paradoxauxde J. Nash et N. Kuiper devient envisageable. Nous nous intéresserons aucas des tores plats.

Lieu : bât. 425 - 121-123

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