Nombres choisis au hasard, périodes et approximation diophantienne

Lundi 14 février 2011 14:00-15:00 - Adamczewski Boris - Lyon 1

Résumé : Le développement décimal de nombres réels comme $sqrt 2$, $pi$, $e$
ou $log 2$, semble assez mystérieux et, depuis longtemps, intrigue les mathématiciens. Tandis que les observations numériques semblent plaider en faveur d’une structure complexe, la plupart des questions que l’on peut imaginer poser à propos du développement décimal de ces nombres se révèlent hors d’atteinte.
Kontsevitch et Zagier ont proposé un cadre prometteur pour essayer de distinguer les constantes mathématiques classiques des autres nombres réels en introduisant les notions de période et de période exponentielle. Les nombres algébriques, $pi$, $log 2$ et $zeta(3)$
sont des exemples emblématiques de périodes, tandis que $e$, qui n’est
(conjecturalement) pas une période, est le prototype d’une période exponentielle. Pour paraphraser ces auteurs, on peut dire que toutes les constantes mathématiques classiques sont des périodes en un sens approprié.
Le folklore suggère que le développement dans une base entière d’une période irrationnelle devrait se comporter peu ou prou comme celui d’un nombre choisi au hasard. Dans cet exposé, j’expliquerai comment des outils d’analyse diophantienne permettent d’obtenir quelques résultats très partiels dans cette direction.

Lieu : bât. 425 - 113-115

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