Pattern périodique bi-dimensionnel pour les vagues de gravité

Jeudi 29 mai 2008 14:15-15:15 - Iooss Gérard - Université de Nice

Résumé : (en collaboration avec Pavel Plotnikov, Novosibirsk)
On considère les vagues en ondes progressives dans un écoulement potentiel ayant une surface libre avec un pattern bi-périodique dans les directions horizontales. La couche de fluide est supposée infinie et sans tension de surface. Le pattern périodique est engendré par deux vecteurs d’onde K1 et K2 de longueurs différentes. Les vagues peuvent être considérées comme une superposition non-linéaire de 2 ondes planes de nombres d’onde K1 et K2, et d’amplitudes ε1 et ε2, pourvu qu’à la bifurcation K1 et K2 , le paramètre de bifurcation μ (construit avec une longueur d’onde, l’accélération de la gravité, et le célérité des ondes) et la direction de propagation des ondes u0, satisfassent l’équation de dispersion.
On montre d’abord comment construire un développement asymptotique des vagues non symétriques qui bifurquent, sous la forme d’une série de puissances des amplitudes ε1 et ε2, la direction de propagation restant proche de u0.
A cause d’un problème de petits diviseurs la difficulté principale pour montrer l’existence, est l’inversion de l’opérateur dérivée en un point qui n’est pas l’origine, afin d’appliquer la méthode de Nash-Moser. Cet opérateur est la somme d’un opérateur différentiel du second ordre le long d’un champ de vecteurs ayant un nombre de rotation non nul, et d’un opérateur intégro-différentiel du 1er ordre. Ces deux opérateurs ont des coefficients fonctions périodiques des coordonnées. La méthode est analogue à celle développée dans [1] et [2], avec la difficulté supplémentaire due au nombre de rotation non nul. On montre comment procéder à cette inversion, pourvu que deux conditions diophantiennes sur les paramètres soient réalisées. Ceci permet de transformer l’opérateur linéaire en un opérateur pseudo-différentiel canonique sur le tore de dimension 2, avec des coefficients constants pour sa partie principale, et un reste régularisant. On montre l’existence de vagues périodiques non symétriques bifurquant pour les valeurs des paramêtres (ε1,ε2) appartenant à un produit d’ensemble de Cantor de dimension 1, dense en 0.

Lieu : bât. 425 - 113-115

Pattern périodique bi-dimensionnel pour les vagues de gravité  Version PDF