Propriétés de grande intersection en approximation diophantienne et dans des problèmes de recouvrements aléatoires

Lundi 1er décembre 2008 14:00-15:00 - Durand Arnaud - Orsay

Résumé : Certains problèmes issus de l’approximation diophantienne et des systèmes dynamiques font jouer un rôle crucial à des familles d’ensembles vérifiant la propriété remarquable suivante : chaque ensemble de la famille est de dimension de Hausdorff au moins égale à un certain réel s donné et l’intersection d’un nombre au plus dénombrable de ces ensembles reste de dimension plus grande que s. De tels ensembles possèdent donc la propriété d’avoir une « grande intersection » en un sens s-dimensionnel. Dans le but de fournir un cadre général à l’étude de ces familles, K. Falconer a introduit des classes dites d’ensembles à grande intersection associées à chaque réel s possible.
Nous définirons de nouvelles classes d’ensembles à grande intersection plus fines que celles de Falconer et, à l’aide de la notion de système d’ubiquité homogène, nous donnerons une condition suffisante simple sous laquelle un ensemble de type limsup de boules appartient toujours à une de ces classes. Cela nous permettra de fournir une description très précise des propriétés de taille (au sens des mesures de Hausdorff) et de grande intersection des ensembles apparaissant dans la théorie classique de l’approximation diophantienne (ensemble des réels approchables à une certain vitesse par des rationnels, des réels algébriques, etc.). Nous montrerons aussi comment ces classes d’ensembles à grande intersection interviennent naturellement dans l’étude des problèmes de recouvrement aléatoire du cercle et de la droite.

Lieu : bât. 425 - 113-115

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