Soutenance de thèse de V. Feuvrier : Un résultat d’existence pour les ensembles minimaux par optimisation sur des grilles polyédrales

Mardi 30 septembre 2008 16:00-17:00 - Feuvrier Vincent - ORSAY

Résumé : Rappelons qu’une partie de $R^n$ est dite minimale si sa mesure de Hausdorff $d$-dimensionnelle ne peut être rendue plus petite par déformation dans une classe de compétiteurs adaptée. On peut citer comme exemple le problème de Plateau standard, pouvant se réécrire comme celui de trouver un ensemble inimal pour les déformations à support relativement compact dans un domaine, la frontière du domaine jouant alors le rôle d’une condition topologique de bord.
Un ensemble quasiminimal au sens d’Almgren n’est pas forcément minimal puisque sa mesure peut décroître après déformation, mais seulement de manière contrôlée relativement à la mesure des points qui ont été déformés. Une autre propriété remarquable concerne les limites de Hausdorff de suites d’ensembles quasiminimaux réduits. Dans ce contexte, non seulement la limite est quasiminimale et réduite, mais en outre la mesure de Hausdorff est semi-continue inférieurement, ce qui n’est généralement pas le cas.
On propose ici, dans le cadre d’un problème sur un ouvert borné en dimension et codimension quelconques, un premier résultat d’existence utilisant une méthode systématique pour construire une suite minimisante d’ensembles quasiminimaux, par minimisation finie sur les sous-faces $d$-dimensionnelles de grilles polyédrales adaptées. La construction de telles grilles est assez délicate, puisqu’on s’impose à la fois de faire l’approximation polyédrale d’un ensemble rectifiable le long de certains plans tangents pour contrôler l’augmentation de mesure correspondante, tout en gardant un contrôle uniforme sur la régularité des polyèdres de façon à éviter qu’ils ne soient trop plats. Les bornes uniformes obtenues sur la forme des polyèdres sont en effet utilisées lors de la discrétisation polyédrale des compétiteurs du problème — mettant en jeu des projections radiales successives sur la frontière des sous-faces de dimension décroissante de $n$ à $d$ — et permettent d’obtenir automatiquement une constante de quasiminimalité ne dépendant que de $n$ et $d$.
La suite d’ensembles quasiminimaux obtenue converge alors en distance de Hausdorff sur tout compact du domaine vers un ensemble minimal — ou presque-minimal en minimisant une fonctionnelle $J(E)=\int_E hd\mathcalH^d$ avec $h$ continue à valeurs dans $[1,M]$.

Lieu : 425 - Petit amphi

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