Sur l’écriture d’un nombre réel dans des bases différentes

Lundi 26 mars 2012 14:00-15:00 - Yann Bugeaud - Université de Strasbourg

Résumé : Il s’agit essentiellement, mais pas uniquement, d’un survol de résultats déjà anciens. Soient r et s deux nombres entiers multiplicativement indépendants. Vers 1960, Cassels et Schmidt, indépendamment, ont montré l’existence de nombres réels x normaux en base r (c’est-à-dire, tels que la suite (x r^n)_n est équirépartie modulo un) qui ne sont pas normaux en base s. Nous présenterons des extensions de ce résultat, obtenues dans les années 1990 par Brown, Moran et Pollington, au moyen des produits de Riesz. Nous montrerons également qu’un nombre réel irrationnel ne peut pas avoir simultanément beaucoup de zéros en base r et en base s. Enfin, nous évoquerons divers résultats d’existence de nombres réels ayant des propriétés d’approximation diophantienne prescrites et dont l’écriture en base r possède certaines particularités (par exemple, lorsque r égale 3, on peut demander que les nombres appartiennent à l’ensemble de Cantor).

Lieu : bât. 425 - 113-115

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