Sur la divergence des séries de Fourier

Lundi 13 décembre 2010 14:00-15:00 - Heurteaux Yanick - Clermont-Ferrand

Résumé : Un célèbre théorème de Carleson nous dit que si une fonction f est de puissance p-ème intégrable (p>1), sa série de Fourier converge presque partout. D’un autre coté, il peut y avoir des points de divergence. Pour un tel point donné x, on peut introduire l’indice de divergence comme étant le plus petit exposant t tel que S_n f(x)=O(n^t). On sait que cet indice est au plus égal à 1/p et on s’intéresse à la dimension des ensembles exceptionnels de points E_t d’indice de divergence donné t. Nous montrons que quasi-toute fonction de Lp (au sens de Baire) a un comportement multifractal. De façon précise, quasi-surement dans Lp, pour tout t, la dimension de Hausdorff de E_t vaut 1-tp. Ce résultat fait suite à un travail de Jean-Marie Aubry sur le sujet exposé à ce même séminaire il y a un an. Nous nous intéressons aussi aux fonctions continues pour lesquelles la croissance de S_n f(x) est controlée par le logarithme de n. Là encore un indice de divergence (logarithmique) peut être introduit et nous obtenons des résultats surprenants sur la taille des ensembles exceptionnels. Il s’agit d’un travail commun avec Frédéric Bayart (Clermont-Ferrand).

Lieu : bât. 425 - 113-115

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