Sur la régularité de l’ensemble singulier d’un minimiseur de Mumford-Shah en dimension 3 et supérieure.

Lundi 2 juin 2008 14:00-15:00 - Lemenant Antoine - Orsay

Résumé : On étudie dans cette thèse certains aspects de la régularité de l’ensemble singulier d’un minimiseur pour la fonctionnelle de Mumford-Shah provenant d’un problème de segmentation d’image :
$$J(u,K) :=\int_\Omega\backslash K|\nabla u|^2+\int_\Omega\backslashK|u-g|^2+H^N-1(K).$$
Le théorème le plus important est sans doute celui du chapitre 2. On montre que si K est assez proche (en distance) d’un P, d’un Y ou d’un T dans une certaine boule (c’est à dire les trois types de cônes minimaux dans R3 introduits par Jean Taylor dans son théorème de régularité des surfaces minimales), alors K est l’image C^1,alpha d’un P, Y ou d’un T dans une boule légèrement plus petite. Ce résultat donne une nouvelle démonstration et surtout généralise le théorème de régularité C1 presque partout de L. Ambrosio, N. Fusco et D. Pallara ainsi que celui de Guy David, et répond à une question que se posaient (entre autres) ces gens là depuis 1996. La première partie de la thèse est un peu différente, elle concerne les minimiseurs globaux dans R^N (i.e. les limites par explosion). On montre que si (u,K) est un minimiseur global et que si K est un cône assez régulier, alors u (modulo les constantes) est une fonction homogène de degré 1/2 dans R^N\K, avec quelques applications sporadiques...

Lieu : 425 - Petit amphi

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