Sur le cocycle de Kontsevich-Zorich au-dessus de deux origamis spéciaux

Jeudi 30 avril 2009 14:00-15:00 - Matheus Carlos - Collège de France

Résumé : Depuis les travaux de Forni (2002) et d’Avila et Viana (2005), la théorie ergodique des orbites « génériques » (par rapport à la mesure de Lebesgue) du flot géodesique de Teichmüller (et du cocycle de Kontsevich-Zorich) est bien connue : les exposants de Lyapunov du cocycle de Kontsevich-Zorich (KZ) sont simples (ie de multiplicité 1) et non nuls (en particulier, le flot de Teichmüller est non-uniformément hyperbolique). Par contre, on peut suivre Veech et s’intéresser aux exposants de Lyapunov du cocycle KZ au-dessus des orbites non génériques. Dans ce cas, le spectre peut être « très dégénéré » : les papiers de Forni (2005) et de Forni et Matheus (2008) donnent deux exemples (en genre 3 et 4) de surfaces à petits carreaux telles que les exposants sont nuls. De plus, il y a un travail non publié de Möller qui indique que ces exemples sont très rares : ce sont les uniques exemples possibles à spectre totalement dégénéré.
En tout cas, le travail de Forni dit que le cocycle KZ au-dessus de ces orbites très dégénérés est isométrique (et un travail non publié d’Avila et Hubert montre que le cocycle KZ de l’exemple de genre 3 est trivial). Dans l’exposé, j’expliquerai un travail en collaboration avec JC Yoccoz sur le calcul de l’action de SL(2,Z) dans l’homologie relative de ces origamis (et, par conséquent, le cocycle KZ).

Lieu : bât. 425 - 121-123

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