Théorie ergodique pour les feuilletages : quelque pistes

Jeudi 23 février 2012 14:00-15:00 - Christian Bonatti - Dijon

Résumé : Dans 3 articles avec Gomez-Mont, Viana et Vila, nous avions obtenu un résultat remarquable pour des feuilletages très simples, définis comme suspension de représentation a valeurs dans $SL(n,C)$ d’un groupe de surface. Sous une hypothèse (ouverte et dense) nous montrions l’existence d’une unique mesure harmonique qui décrivait également le comportement de presque toute géodésique dans les feuilles et de tous les grands disques dans les feuilles. Nous nous sommes aperçu depuis que ces trois aspects des mesures (description des géodésiques, des grands disques et du mouvement brownien) ne coïncidaient que parce que nous considérions des feuilletages dont les feuilles sont hyperboliques (a courbure négative constante). Dans le cas de courbure variable, les trois aspects divergent. Si l’existence de mesures harmoniques est classique depuis les travaux de L. Garnett, notre approche permet de définir des mesures décrivant presque toutes géodésiques dans les feuilles, a l’aide de la notion d’hyperbolicité feuilletée (travail avec Gomez Mont et Martinez).Reprenant nos exemples simples de suspension, mais dans le cadre de courbure variable, Alvarez remontre l’unicité de la mesure harmonique et de la mesure décrivant les géodésiques dans les feuilles, ces deux mesures « uniques » étant toutefois différentes. Nous espérons également montrer (preuve en cours) l’unicité de mesure limite des grands disques, différentes des deux précédentes.J’essaierai de présenter les pistes nouvelles pour l’étude du comportement statistique des feuilles des feuilletages, que nos résultats semblent ouvrir.

Lieu : bât. 425 - 121-123

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