Comment estimer une densité de probabilité sur une toile d’araignée ?

Lundi 24 février 16:00-17:00 - Dominique Picard - Université de Paris

Résumé : Dans cet exposé on va étudier le problème de l’estimation de densité. En
d’autres termes, on observe X1, . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes
identiquement distribuées, définies sur un espace M et on se propose de trouver
une bonne estimation de leur densité commune.
Ce problème a une longue histoire en statistique mathématique. La difficulté ici
réside dans le fait que nous allons considérer des espaces M assez généraux comme
des variétés Riemanniennes, des espaces de matrices, des graphes ou encore des...
toiles d’araignées.
On peut prouver que sous certaines hypothèses sur ces espaces (qui permettent
néanmoins une assez grande généralité) on peut bâtir une théorie de l’estimation,
définir des conditions de régularité, et quasiment construire une théorie minimax
comme on peut le faire dans R^d , avec des vitesses de convergence qui peuvent
ressembler aux vitesses habituelles.
En particulier on peut construire des méthodes de type noyaux, même dans
des espaces où par exemple l’addition n’a pas de sens.
Si on veut résumer le type d’hypothèses qu’on est amené à faire, disons simplement que certaines sont directement liées à une notion de ’dimension’ sur l’espace,
d’autres s’emploient à construire un environnement où des espaces de régularité
et d’approximation ont un sens.
Ces conditions permettent de développer un calcul fonctionnel ainsi que des
noyaux bien localisés, mais se révèlent suffisamment générales pour englober des
exemples comme la sphère, SU(2), les variétés Riemanniennes compactes....

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