Résumé : On va établir un théorème de Riemann-Roch-Grothendieck au niveau des formes différentielles pour des familles des surfaces de Riemann avec pointes hyperboliques admettant des fibres singuliers. Pour cela, on définit la torsion analytique d’une surface cuspidale et on étudie ses propriétés.
Dans le cas de la courbe universelle épointée, notre résultat donne une généralisation d’une formule de Takhtajan-Zograf qui exprime le premiere forme de Chern de fibre de Hodge en termes de la forme de Weil-Petersson. Cette formule nous donne une autre preuve d’un théorème du à Wolpert, qui affirme que les volumes de Weil-Petersson de l’espace de modules de courbes épointées sont des multiples rationnelles de puissances de pi.
Pour obtenir nos résultats, un outil important est l’asymptotique de la métrique de Quillen près de lieu singulier. On calcule cette asymptotique jusqu’au terme constant, et on relie le terme constant à la métrique de Quillen sur la normalisation des fibres singulières.

Lieu : Salle 3L8