Un théorème d’image ouverte uniforme pour les représentations l-adiques du groupe fondamental d’une courbe

Mardi 31 mars 2009 16:00-17:00 - Cadoret Anna - Université de Bordeaux 1

Résumé : Soit $k$ un corps de type fini et de caract’eristique $0$ et soit $X$ une courbe lisse et géométriquement connexe sur $k$. Une représentation $rho pi_1(X)rightarrow hboxrm GL_d(mathbbZ_ell)$ du groupe fondamental étale de $X$ vérifie la propriété (*) si tout sous-groupe ouvert de $rho(pi_1(X_overlinek))$ a un abélianisé fini. Les représentions $rho_A,ell$ induites par l’action de $pi_1(X)$ sur le module de Tate $ell$-adique générique d’un schéma abélien $A$ sur $X$ vérifient (*). Notons $G$ l’image de $rho$ et, pour tout point fermé $x$ de $X$, notons $G_x$ l’image par $rho$ de $Gamma_k(x)$ (identifié avec le groupe de décomposition de $x$ dans $pi_1(X)$) ; c’est un sous-groupe fermé de $G$. Pour tout entier $dgeq 1$, on note $X_d$ l’ensemble des points fermés $xin X$ définis sur une extension de degré $leq d$ de $k$. Le résultat suivant généralise de façon uniforme et en dimension supérieure le théorème de l’image ouverte de Serre pour les courbes elliptiques : textitSi $rho$ vérifie (*) alors pour tout entier $dgeq 1$ l’ensemble $X_rho,d$ des $xin X_d$ tels que $G_x$ n’est pas ouvert dans $G$ est fini. De plus, il existe un entier $B_rho,dgeq 0$ tel que pour tout $xin X_dsetminus X_rho,d$, $[G:G_x]leq B_rho, d$. Appliqué aux représentations de type $rho_A,ell$, ce résultat donne, par exemple, des bornes uniformes pour la torsion (tordue) $ell$-primaire des $A_x$, $xin X_d$. Il s’agit d’un travail en commun avec Akio Tamagawa (R.I.M.S.).

Lieu : bât. 425 - 113-115

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