Thèse Analyse numérique et EDP

Sur quelques problèmes d'analyse spectrale, géométrie spinorielle et géométrie conforme

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July 2022
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Intervenant : FLAMENCOURT Brice
Directeur : PANKRASHKIN Konstantin / MOROIANU Andrei
Heure : 14h00
Lieu : IMO, Amphi Yoccoz + Visio

Cette thèse se divise en deux grandes parties. Dans la première, on s'intéresse à deux problèmes d'analyse spectrale portant sur la convergence des valeurs propres d'opérateurs à paramètres. D'une part, on considère l'opérateur de Schrödinger dans le plan, avec un potentiel singulier supporté par une courbe fermée $\Gamma$ admettant un point de rebroussement. Ce potentiel s'écrit formellement $- \alpha \delta (x - \Gamma)$, et l'on décrit le comportement du spectre de l'opérateur dans la limite $\alpha \to + \infty$. D'autre part, on étudie l'opérateur de Dirac qui apparaît dans le modèle MIT Bag, en le généralisant aux variétés spin. Lorsque le paramètre de masse de cet opérateur tend vers l'infini, on observe une convergence des valeurs propres.

Dans la seconde partie, on discute différents problèmes de géométrie. On démontre tout d'abord des résultats de structure et de classification en dimension $3$ pour une classe particulière de spineurs, appelés spineurs de Cauchy, qui apparaissent naturellement comme restrictions de spineurs parallèles à des hypersurfaces orientées de variétés spin. Enfin, on s'intéresse aux connexions de Weyl sur les variétés conformes. On définit les structures localement conformément produits (LCP) par la donnée d'une structure de Weyl fermée, non-exacte, non-plate et à holonomie réductible sur une variété conforme compacte. On analyse les variétés LCP afin d'initier une classification.

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