Cette thèse porte sur les formes automorphes $p$-adiques et l'aspect localement analytique du programme de Langlands $p$-adique.

Nous étudions la géométrie locale de la variété trianguline et le problème des points compagnons sur la variété de Hecke aux points de poids de Hodge-Tate non-réguliers. Il s'agit d'une généralisation des travaux de Breuil-Hellmann-Schraen qui avaient traité le cas régulier. Nous établissons d'abord les modèles locaux et l'irréductibilité locale de la variété triangulines aux points génériques, points qui peuvent avoir des poids de Hodge-Tate non-réguliers et même non-entiers. Nous démontrons alors l'existence, dans le cas cristallin Frobenius générique, des points compagnons de raffinement fixé mais de poids différents sur la variété de Hecke, en mettant en relation des propriétés partiellement classiques des formes automorphes $p$-adiques et certaines propriétés de cycles sur les modèles locaux. De plus, nous démontrons l'existence des points compagnons correspondant aux autres raffinements sur la variété de Hecke en utilisant un argument d'approximation.

En conséquence, sous l'hypothèse de Taylor-Wiles, nous prouvons la conjecture de socle localement analytique de Breuil pour les représentations galoisiennes cristallines génériques de poids de Hodge-Tate non-réguliers.