Résumé: Nous étudions plusieurs questions d'analyse provenant de la mécanique quantique à plusieurs corps. Plus précisément, nous considérons des équations aux dérivées partielles non-linéaires ainsi que des inégalités fonctionnelles décrivant un grand nombre de fermions dans une approximation de champ moyen. Cela mène à l'analyse mathématique des matrices densités à un corps dont la trace est grande ou infinie, avec un intérêt particulier pour la distribution spatiale de particules associée. Nous adaptons des outils d'EDPs dispersives, d'analyse de Fourier et semi-classique à ce cadre. Dans une première partie, nous établissons un lien entre plusieurs équations d'évolution qui décrivent de grands systèmes quantiques (relativistes et non-relativistes) dans certains régimes asymptotiques, en utilisant des méthodes de compacité ou de convergence forte. Dans une deuxième partie, nous développons des méthodes d'analyse harmonique qui impliquent des inégalités fonctionnelles sur des matrices densités que nous appelons fermioniques. Dans une troisième et dernière partie (sans lien avec la mécanique quantique à plusieurs corps), nous étudions l'existence de fonctions optimales pour des inégalités d'extension de la transformée de Fourier, à l'aide de méthodes de compacité.