On observe des vecteurs aléatoires $X_1,\dots,X_n$, tels que $X_i=g(U_i)+e_i$ ,pour $ i=1,...,n$, où la courbe $g:[0,1] \to R^d$ est inconnue, les $e_i$ sont des variables aléatoires i.i.d. avec la même distribution qu'une variable aléatoire générique $e$, telle que $\mathbb{E}[|e|] \leq m$ et $Var(|e|) \leq \sigma^2$, et les $U_i$ sont des variables aléatoires indépendantes de loi $\mu_i \geq c \lambda$ (mesure de Lebesgue) sur $[0,1]$.

On suppose que la courbe g est rectifiable, de longueur $L(g)$, et $|g(t)| = L(g)$ dt-a.e. De plus, on fait l'hypothèse que g est injective et $\mathrm{reach}(\mathrm{Im} \,\,g) \geq r>0$. Le reach contrôle la régularité de la courbe $g$: il s'agit du rayon maximal d'une boule que l'on peut faire rouler le long de la courbe.

Le but de cet exposé est de proposer une méthode d'estimation de la courbe $g$ basée sur la notion de courbe principale. Nous proposerons une suite de courbes dont les images  convergent en probabilité, en distance de Hausdorff, vers $\mathrm{Im} \,\,g$, et dont la longueur  est asymptotiquement égale à la longueur de $g$. Nous présenterons des résultats permettant d'obtenir une vitesse de convergence dans ce contexte.

Il s'agit d'un travail en cours, en collaboration avec Sylvain Delattre.