Le but de cet exposé, basé sur des travaux en collaboration avec Joe Thomas, est de décrire les géodésiques fermées de longueur <= L sur une surface hyperbolique typique. Il existe des outils "classiques" en géométrie hyperbolique à cet effet, comme le lemme du collier. Je propose d'améliorer ces résultats en prouvant des énoncés vrais pour la plupart des surfaces plutôt que toutes, grâce au modèle probabiliste de Weil--Petersson. Plus précisément, j'expliquerai pourquoi toutes les géodésiques fermées de longueur L <= (1/6) log(g) sont simples, disjointes et incluses dans des cylindres épais disjoints, et ce avec probabilité qui tend vers 1 lorsque le genre g tend vers l'infini. Ces propriétés sont établies grâce à une nouvelle notion de surface "L-tangle-free", importée de la théorie des graphes, et qui a des conséquences sur le trou spectral du laplacien et la dynamique des surfaces aléatoires typiques.

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