Étant donné un ensemble $E$ pas trop petit dans le plan et un point $x$ dans son complémentaire, le point auquel le mouvement Brownien partant de $x$ atteint $E$ en premier définit une mesure de probabilité, appelée mesure harmonique. Cette mesure intervient naturellement dans la résolution du problème de Dirichlet dans le complémentaire de $E$. On veut notamment savoir si la mesure harmonique et la mesure "naturelle" sur $E$ sont comparables (c'est-à-dire si le mouvement Brownien arrive uniformément sur $E$). On sait depuis longtemps que ce n'est pas le cas si $E$ est un ensemble de Cantor auto-similaire. Je montrerai comment on peut construire des ensembles de Cantor (non auto-similaires) pour lesquels les deux mesures sont équivalentes.
(Il s'agit d'un projet en cours avec Guy David et Cole Jeznach.)