12 mars 2020

Alix Deleporte (Université de Zurich)
Noyaux de Szegö et opérateurs de Toeplitz

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Lieu : IMO, Salle 3L8

Résumé : La quantification de Berezin-Toeplitz a pour contexte des variétés à la fois symplectiques et complexes (dites kähleriennes). Elle associe à une fonction f à valeurs réelles sur cette variété, une suite d’opérateurs auto-adjoints (T_N(f))_N. La limite N->+∞ s’interprète comme une limite semiclassique.
Les opérateurs de Toeplitz sont liés aux opérateurs pseudodifférentiels (microlocalement, ou globalement lorsque M=C^n) via des transformées de type FBI, mais ils admettent une autre classe naturelle d’exemples directement issus de la physique : les systèmes de spins quantiques.
Dans cet exposé, je présenterai un contexte physique particulier qui a motivé mes travaux récents sur la quantification de Toeplitz, puis les constructions et propriétés générales de cette quantification (qui passe par l’étude des projecteurs de Szegö). Enfin, je décrirai des avancées récentes sur la microlocalisation des fonctions propres des opérateurs de Toeplitz.

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Victor-Emmanuel Brunel (ENSAE/CREST)
Apprentissage de mesures déterminantales discrètes

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Résumé : Les processus déterminantaux forment une classe générale de processus ponctuels (incluant, par exemple, les processus de Poisson) qui sont devenus populaires en apprentissage statistique, car ils permettent facilement de modéliser des interactions répulsives et de la diversité. Dans le cas discret, ils peuvent être décrits comme des mesures de probabilité sur l’ensemble des sommets de l’hypercube, appelées mesures déterminantales. Ces mesures sont paramétrées par une matrice carrée, dont les mineurs principaux donnent les valeurs de la fonction de masse.
Après avoir défini ces mesures, je présenterai deux méthodes permettant d’estimer la matrice associée, à partir de réalisations i.i.d. de cette mesure déterminantale. Ces méthodes sont basées sur le maximum de vraisemblance, qui souffre d’une très grande complexité algorithmique, et sur la méthode des moments.

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Djalil Chafaï (CEREMADE, Université Paris-Dauphine)
Quelques modèles coulombiens