10 septembre 2020

 
Exposés de doctorants

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Résumé : 14h-14h30 : Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices
14h45-15h15 : Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection
15h30-16h : Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe
16h15-16h45 : Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier


Résumés


Cyril Falcon, Un théorème de compacité en théorie des familles génératrices

Étant donné une sous-variété legendrienne décrite par une famille génératrice, Henry et Rutherford proposent, dans un article de 2013, une famille à un paramètre de métriques riemanniennes pour laquelle ils conjecturent qu’en considérant de petits paramètres, les trajectoires de gradient rigides à extrémités fixées de la fonction différence associée à deux familles génératrices sont en correspondance bijective avec des courbes brisées en escalier. Ce résultat pourrait permettre de faire des avancées considérables sur la question de la classification des sous-variétés legendriennes, notamment en facilitant le calcul d’un invariant issu de la théorie de Morse qui a été introduit par Traynor en 2001.

Dans cet exposé, je souhaite discuter d’une stratégie de démonstration de cette correspondance bijective conjecturale et en particulier présenter un théorème de compacité qui en constitue le premier pas. Plus précisément, je montre que si les singularités du front de la sous-variété legendrienne sont toutes de codimension un, alors dans la limite de Henry et Rutherford, les trajectoires de gradient de la fonction différence « convergent », à extraction près, vers des chaînes d’escaliers.


Yusuke Kawamoto, Homogeneous quasimorphisms, C^0-topology and Lagrangian intersection

We construct an example of a non-trivial homogeneous quasimorphism on the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the 2- and 4-dimensional quadric which is continuous with respect to both C^0-topology and the Hofer metric. This answers a variant of a question of Entov-Polterovich-Py which is one of the open problems listed in the monograph of McDuff-Salamon.


Pierre-Louis Blayac, Les densités de Patterson-Sullivan en géométrie projective convexe

Ainsi que l’a remarqué Benoist dans ses travaux sur les convexes divisibles, les variétés projectives convexes (quotients d’ouverts proprement convexes de l’espace projectif par des groupes de transformations projectives), munies de leur métrique de Hilbert, présentent de grandes similitudes avec les variétés riemanniennes de courbure négative (ou nulle). Par exemple, dans le cas compact et strictement convexe, leur flot géodésique est Anosov. De plus, une notion de variété projective convexe de rang 1, inspirée de la géométrie riemannienne, a récemment été proposée.
Nous nous intéressons aux propriétés dynamiques du flot géodésique. Prenant pour modèle un résultat célèbre de Knieper en géométrie riemannienne, nous présenterons l’unique mesure d’entropie maximale sur les variétés projectives convexes compactes de rang 1. La construction de cette mesure, et la preuve de son unicité, reposent sur un outil très général et puissant : les densités de Patterson—Sullivan, ou densités conformes.


Bogdan Stankov, Comportement à la limite de marches aléatoires sur graphes de Schreier

Le bord de Poisson d’une marche aléatoire est une espace de probabilité qui décrit le comportement limite de la marche. Il est connu qu’un groupe est moyennable si et seulement s’il existe une mesure non-dégénéré tel que sa marche aléatoire sur le graphe de Cayley a un bord de Poisson trivial. Quand il agit sur une espace, le bord de la marche induite sur l’espace (et son graphe de Schreier) est un quotient du bord de la marche sur le groupe. On va présenter des résultats autour de la non-trivialité du bord de Poisson pour la marche induite sur le graphe de Schreier sur l’hypothèse que la mesure est de première moment fini. On va voire une application sur le groupe $F$ de Thompson, qui généralise un résultat de Kaimanovich (qui l’obtient pour les mesures de support fini). On va aussi décrire comment une approche similaire donne la non-trivialité du bord de Poisson des sous-groupes qui ne sont pas localement résolubles du groupe $H(\mathbbZ)$ d’homéomorphismes projectifs par morceaux. Ce groupe est présenté par Monod avec tout un classe de groupes $H(A)$ dans un article ou il démontre que pour tout sous-anneau $A$ des réels sauf $\mathbbZ$, $H(A)$ est un groupe non-moyennable sans sous-groupe libre.

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