17 septembre 2020

Antoine Laurain (Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo)
Séminaire AN-EDP : Shape optimization approach for sharp-interface reconstructions in inverse problems

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Lieu : LMO, 3L8

Résumé : Shape optimization approach for sharp-interface reconstructions in inverse problems
Working within the class of piecewise constant models, inverse problems can be recast as shape optimization problems where the discontinuity interface is the unknown. The sensitivity analysis of the cost functional relies on shape optimization techniques and in particular on the concept of shape derivatives. I will show several recent developments including a shape-Lagrangian approach for point measurements, and distributed shape derivatives for geometries with low regularity. Numerical results based on a level set approach will be presented for the inverse problems of electrical impedance tomography and full waveform inversion.

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Exposés de doctorants

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Lieu : IMO, salle 0D1

Résumé : 14h-14h30 : Timothée Bénard, Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini
14h45 - 15h15 : Irving Calderon, Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières


Résumés :


Timothée Bénard : Dérive d’une marche aléatoire sur un revêtement abélien d’un espace homogène de volume fini

Soit S_0 une surface hyperbolique de volume fini, et S un Z^d-revêtement de S_0. La surface S est munie d’une action naturelle par isométries de Z^d, permettant d’identifier Z^d\S à S_0. Notons D_0 un domaine fondamental, et pour k dans Z^d, D_k=k.D_0. Considérons une marche aléatoire sur le fibré unitaire T^1S. Notant (x_n) une trajectoire typique, on s’intéresse à l’indice k_n du bloc contenant x_n, le n-ième itéré de la marche.
Nous montrerons que si D_0 est à bord compact, alors pour tout point de départ x_0, la suite k_n/n admet une limite (appelée dérive) que l’on peut expliciter.

Dans le cas contraire, nous verrons à travers l’exemple d’un Z-revêtement de la sphère à trois pointes, que la suite k_n/n peut ne pas converger, voir être asymptotiquement dense dans R.


Irving Calderon : Un critère effectif d’équivalence de formes quadratiques entières

Notre point de départ est le problème classique de déterminer quand deux formes quadratiques entières sont équivalentes à changement de base près. Parmi les gens qui ont contribué à ce problème, on peut citer C.F. Gauss, C.L. Siegel et M. Eichler. Li et Margulis publient en 2010 un critère effectif pour répondre a cette question. Le-voici pour des formes quadratiques en 3 variables :

Il existe une constante C>0 avec la propriété suivante : Si Q et R sont des formes quadratiques entières non-dégénerées en 3 variables Q et R non-dégénérées, indéfinies et GL(3,Z)-équivalentes, il existe g dans GL(d,Z) qui transforme Q en R avec norme au plus C(||Q||x||R||)^27 (||Q|| est le maximum des valeurs absolues des coefficients de Q).

Je vais présenter un critère un petit peu plus général que celui-ci, mais cette fois on s’intéresse à des formes quadratiques entières
GL(3,Z[1/p])-équivalentes, où p est un nombre premier. En plus de borner la norme d’une matrice g de passage de Q à R dans GL(3,Z[1/p]), on estime la puissance de p la plus grande qui apparaît dans le dénominateur des coefficients de g.

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