29 septembre 2020

Gerard Freixas i Montplet (IMJ)
Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1

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Lieu : salle 3L15 bâtiment 307

Résumé : La symétrie miroir à la Candelas-de la Ossa-Green-Parkes prédit une correspondance entre les invariants de Gromov–Witten de genre 0 d’une variété de Calabi–Yau, et un invariant extrait de la variation de structures de Hodge d’une famille de variétés de Calabi-Yau miroirs (accouplement de Yukawa). Pour le comptage de courbes de genre 1, une conjecture de Bershadsky-Cecotti-Ooguri-Vafa (BCOV) propose que l’analogue de l’accouplement de Yukawa serait un invariant compliqué de nature spectrale, appelé invariant BCOV. L’invariant BCOV est essentiellement une combinaison de torsions analytiques holomorphes. À son tour, la torsion analytique holomorphe est un ingrédient distinctif de la formule de Grothendieck-Riemann-Roch (GRR) en géométrie d’Arakelov.
Dans un travail en commun avec D. Eriksson et C. Mourougane, nous proposons un raffinement de la conjecture de BCOV de nature algébrique, dont la formulation ne fait donc pas appel à la torsion analytique holomorphe. Elle est ainsi plus proche à la formulation de la symétrie miroir en genre 0. Dans notre interprétation, la série génératrice des invariants de Gromov-Witten de genre 1 d’une variété de Calabi-Yau devient l’expression locale d’un isomorphisme de GRR, entre certains fibrés en droites extrait des fibrés de Hodge d’une famille miroir. L’invariant BCOV est alors la norme de cet isomorphisme pour les normes de Hodge. Nous démontrons la conjecture pour le cas des hypersurfaces de Calabi-Yau dans P^n. La preuve utilise tout de même la torsion analytique holomorphe, en ce qu’elle repose sur la formule de GRR en géométrie d’Arakelov. On se sert de manière fondamentale des travaux de Zinger sur les séries génératrices des invariants de Gromov-Witten de genre 1. Nos résultats améliorent et généralisent un théorème de Fang–Lu–Yoshikawa en dimension 3, et fournissent les premiers exemples complets de symétrie miroir en genre 1 et dimension quelconque.

Notes de dernières minutes : Séminaire en présentiel avec masque

Géométrie d’Arakelov et symétrie miroir en genre 1  Version PDF