1er octobre 2020

Bertrand Deroin  (Cergy-Pontoise)
Non ordonnabilité des réseaux des groupes de Lie semi-simples de rang supérieur

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Lieu : 2L8

Résumé : Je décrirai un travail en collaboration avec Sebastian Hurtado dans lequel on démontre qu’un réseau irréductible dans un groupe de Lie semi-simple de centre fini et de rang supérieur à deux ne peut être ordonné à gauche. De façon équivalente, ces réseaux n’ont aucune action par homéomorphismes sur la droite réelle.

Notes de dernières minutes : Café culturel assuré à 13h par Jean Lécureux

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Nicolas Burq (LMO - Université Paris Saclay)
Séminaire AN-EDP : Propagation de la petitesse et contrôle pour l’équation de la chaleur

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Lieu : LMO,Salle 3L8

Résumé : Dans cette exposé je présenterai des résultats sur la propagation de la petitesse pour les solutions de l’équation de la chaleur. On s’intéressera à cette question sur une variété compacte avec ou sans bord (et conditions de Dirichlet ou Neumann) ou sur Rd. L’objet de l’étude est de démontrer des estimations d’observation quand on observe des solutions de l’équation de la chaleur sur de petits ensembles (ensembles de mesure de Lebesgue positive) ou même des ensembles de dimension de Hausdorf strictement inférieure à la dimension ambiante, mas pas trop petite.
Il est connu depuis les années 2000 que cette question est intimement liée aux estimées de projecteurs spectraux a la Jerison-Lebeau. Les seuls résultats connus précedemment concernaient soit des ensembles d’observation ouverts, soit le cas du Laplacien euclidien sur un ouvert de Rd, ou des perturbations holomorphes et asymptotiquement nulles a l’infini sur Rd, pour lesquels des techniques d’analyse complexe (principe d’incertitude ou inégalité de Logvenenko-Sereda, estimatons de Carleman pour le d-bar) pouvaient s’appliquer.
On montrera dans cet exposé que l’approche d’analyse réelle de Logunov-Malinninkova sur la propagation de la petitesse pour les fonctions harmoniques s’étend aux solutions de l’équation de la chaleur, permettant généraliser considérablement les hypothèses de régularité et de considerer des Laplaciens à coefficients Lipschitz, sur des variétés compactes peu régulières, avec ou sans bord (et conditions de Dirichlet ou Neumann) ou sur Rd (et sans hypothèse de type perturbation sur Rn).
Il s’agit d’un travail en collaboration avec I. Moyano (Université de Nice).

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Eva Löcherbach (Université Paris 1)
Métastabilité pour des systèmes de neurones en interactions

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Lieu : 3L15

Résumé : Travail en collaboration avec P. Monmarché
Nous étudions les propriétés métastables d’un grand système de neurones en interactions. Le système comporte N neurones. Chaque neurone émet des potentiels d’action (spikes) avec un taux qui dépend de la valeur de son potentiel de membrane. Au moment du spike, le potentiel de membrane du neurone en question est remis à 0 tandis que tous les autres neurones reçoivent une charge additionnelle h/N de potentiel, h positif. Entre spikes successifs, chaque neurone perd son potentiel à une vitesse exponentielle. Nous étudions ce processus dans le régime supercritique, lorsque h est suffisamment grand. Duarte et Ost (2016) ont montré que, sous des conditions minimales sur le comportement de la fonction taux de saut près de 0, le système s’éteint presque sûrement (cesse d’émettre des spikes après un temps fini).
Nous montrons que le temps d’extinction arrive à des instants exponentiellement grands en N et que - pour h suffisamment grand - l’état 0 devient instable pour le processus non-linéaire limite. Ensuite nous montrons que - si les fonctions taux saturent - les temps d’extinction, re-normalisés par leur espérance, convergent en loi vers une loi exponentielle lorsque N tend vers l’infini, d’où la métastabilité du système. Les ingrédients principaux sont des techniques de grandes déviation pour un processus auxiliaire ainsi que des couplages astucieux pour les taux de sauts et les valeurs des potentiels de membrane à la fois en distance de Wasserstein et en variation totale.

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