1er décembre 2020

Maria Chlouveraki (Laboratoire de Mathématiques de Versailles)
La réalité des algèbres de Hecke des groupes de réflexions complexes

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Lieu : Séminaire en ligne

Résumé : Les algèbres de Iwahori-Hecke associées aux groupes de Weyl apparaissent naturellement comme des algèbres d’endomorphismes dans la théorie des représentations des groupes réductifs finis. Les groupes de Weyl sont des groupes de réflexions réels, qui sont eux mêmes des cas particuliers des groupes de réflexions complexes. Les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes ont été introduites par Broué, Malle et Rouquier il y a 20 ans, mais plusieurs propriétés des algèbre de Hecke réelles ont été simplement conjecturées dans le cas complexe. Dans cet exposé, nous allons parler des conjectures les plus fondamentales, des dernières avancées concernant celles-ci, y compris nos différents travaux.
Lien vers la présentation.

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Brice Flamencourt (LMO)
Introduction à l’opérateur de Dirac et ses propriétés spectrales / Introduction to the Dirac operator and its spectral properties

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Lieu : Salle 3L8, https://greenlight.lal.cloud.math.cnrs.fr/b/ngo-mzd-gcj

Résumé : L’équation de Dirac permet de décrire le comportement des particules de spin 1/2 dans un cadre relativiste. Sa construction dans l’espace plat peut être réalisée en trouvant la « racine carrée » de l’opérateur laplacien, et cela impose l’utilisation d’un nouvel objet, appelé spineur, pour décrire les particules. Cette construction peut être généralisée à un cadre géométrique plus abstrait en définissant les spineurs comme les sections d’un fibré au-dessus d’une variété, sous certaines hypothèses.
Après avoir explicité la construction de cet opérateur, je m’attarderai sur ses propriétés spectrales, qui permettent de décrire l’énergie des particules en physique. L’opérateur de Dirac étant auto-adjont, ses valeurs propres sont réelles, mais elles peuvent prendre des valeurs négatives, rendant l’analyse globale plus difficile que dans le cas des opérateurs semi-bornés.
%% English version %%
The Dirac equation describes the behaviour of particles with spin 1/2 in a relativistic framework. It is defined in the Euclidean space by taking the square root of the Laplacian, and this leads to introduce a new object called spinor. This can be generalized in differential geometry by defining the spinors as sections of a fibre bundle under several hypothesis.
After the construction of the operator, I will explain its spectral properties, linked to the energy in quantum mechanics. The Dirac operator is self-adjoint, so its eigenvalues are real, but they can take negative values, which make the analysis more difficult than for semi-bounded operators.

Notes de dernières minutes : Exposé exceptionnellement le mardi.

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