11 janvier 2021

Damien Thomine (Orsay)
Théorie du potentiel et probabilités d’atteinte pour des systèmes dynamiques

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Lieu : https://bbb.imo.universite-paris-saclay.fr/b/syl-pbj-8sb-eqv

Résumé : La théorie probabiliste du potentiel donne un dictionnaire entre des objets analytiques (fonctions harmoniques) et probabilistes (processus de diffusion). Appliquée à une chaîne de Markov, elle permet de calculer, notamment, des probabilités d’atteinte : si l’on se donne un état de départ et plusieurs états de sortie, on peut calculer la probabilité d’atteindre un état de sortie donné avant les autres. Cela s’applique, par exemple, aux marches aléatoires récurrentes sur Z ou sur Z^2.
Un certain nombre de systèmes dynamiques (des Z^d-extensions de systèmes dynamiques hyperboliques) ont un comportement analogue à celui des marches aléatoires sur Z ou sur Z^2. Citons le modèle du gaz de Lorentz, qui représente un électron diffusant par rebonds sur les atomes d’un réseau cristallin, ou le flot géodésique sur certaines surfaces de courbure négative de volume infini. Ces systèmes, qui généralisent les marches aléatoires classiques, satisfont un théorème central limite, un théorème central limite local, un principe d’invariance presque sûr...
Je montrerai comment adapter la théorie du potentiel classique à une grande classe de tels systèmes. En particulier, je montrerai comment estimer les probabilités d’atteintes de différents sites, à condition que
ces sites soient suffisamment éloignés les uns des autres.

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Thibault Delcroix (Univ. de Montpellier)
Métriques cscK sur les variétés de cohomogénéité 1

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Résumé : Une variété projective complexe est de cohomogénéité 1 si elle admet une action d’un groupe de Lie compact avec au moins une orbite de codimension réelle égale à 1. Je donnerai une caractérisation combinatoire simple de l’existence de métriques Kähler à courbure scalaire constante sur ces variétés. Ce résultat fournit par ailleurs une solution à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson pour ces variétés, et fait appel à une traduction en géométrie convexe de la K-stabilité des variétés projectives sphériques, que je présenterai également.

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