SUR LES VARIÉTÉS DE HODGE DES HYPERSURFACES

ANIA OTWINOWSKA

0. Introduction

0.1. Avant-propos. Un théorème célèbre de Noether affirme que le groupe de Picard d’une surface générale de ℙ_{ℂ}^{3} de degré supérieur ou égal à 4 est engendré par la classe d’une section hyperplane. Identifions le groupe de Picard d’une surface lisse X ⊂ ℙ_{ℂ}^{3} à l’espace H^{1,1}(X) ∩ H^{2}(X, ℤ) des classes de Hodge ; le théorème de Noether admet alors la généralisation naturelle suivante. Soit Y une variété complexe projective lisse de dimension 2n + 1 et L un faisceau inversible suffisamment ample sur Y. Alors une hypersurface générale X de |L| = ℙH^{0}(Y, L) ne possède pas de classe de Hodge non triviale : nous avons H^{n,n}(X)_{ev} ∩ H^{2n}(X, ℚ) = 0, où H^{n,n}(X)_{ev} = H^{n,n}(X) ∩ H^{2n}(X, ℂ)_{ev} désigne un supplémentaire de l’image de H^{n,n}(Y) dans H^{n,n}(X) (la définition précise est donnée à la section 0.2.1).

La motivation principale de cet article est l’étude du lieu de Noether-Lefschetz paramétrant les hypersurfaces lisses X ∈ |L| qui possèdent une classe de Hodge non triviale ; c’est une réunion dénombrable de sous-variétés algébriques de l’ouvert V_{L} ⊂ |L| paramétrant les hypersurfaces lisses. Il reflète le comportement de la cohomologie rationnelle H^{2n}(X, ℚ) vis-à-vis de la variation des structures de Hodge sur la cohomologie évanescente à coefficients complexes H^{2n}(X, ℂ)_{ev}. Son importance tient en grande partie à la conjecture de Hodge qui affirme que l’espace des classes de Hodge de X est engendré par les classes des sous-variétés algébriques de X; les composantes du lieu de Noether-Lefschetz devraient donc paramétrer des familles non triviales de sous-variétés algébriques des hypersurfaces de V_{L}.

Soit plus généralement Y une variété complexe projective lisse de dimension N +1, L un faisceau inversible suffisamment ample sur Y, X ∈ |L| une hypersurface lisse et λ ∈ F^{k}H^{N}(X, ℂ)_{ev} une classe de cohomologie évanescente, où F^{•} désigne la filtration de Hodge et k ∈ {1, …, N}. On appelle variété de Hodge associée à λ dans un voisinage contractile U ⊂ |L| de X le fermé analytique N_{λ,U}^{L,k} où l’image par transport plat de la classe λ reste dans F^{k}H^{N}(X, ℂ)_{ev}. Dans le cas λ ∈ H^{N}(X, ℚ) et 2k = N, la classe λ est de Hodge, et le lieu N_{λ,U}^{L,k} est inclus dans le lieu de Noether-Lefschetz.

Nous montrons que si L est suffisamment ample et si la codimension de la variété de Hodge N_{λ,U}^{L,k} associée à une classe λ ∈ F^{k}H^{N}(X, ℂ)_{ev} est suffisamment petite, la classe λ est une combinaison linéaire à coefficients complexes des projetés sur la cohomologie évanescente des classes de sous-variétés algébriques de X de petit degré. En particulier, la petite codimension de N_{λ,U}^{L,k} force la dimension de X à être paire : nous avons N = 2k.

Comme corollaire, nous obtenons que les composantes de plus petites codimensions du lieu de Noether-Lefschetz sont définies par des classes des sous-variétés algébriques, comme le prédit la conjecture de Hodge. Cependant les classes de sous-variétés algébriques (de petit degré) sont ici caractérisées par leur seul comportement vis-à-vis de la variation des structures de Hodge sur V_{L}, sans qu’intervienne leur caractère rationnel.

0.2. Énoncé du théorème principal. Soit Y une variété complexe projective lisse de dimension N + 1 munie d’un faisceau inversible très ample O(1), soit d ∈ ℕ^{∗} et soit V^{d} ⊂ H^{0}(Y, O(d)) l’ouvert paramétrant (à la multiplication par un scalaire près) les hypersurfaces projectives lisses de Y de classe c_{1}(O(d)). Pour tout F ∈ V^{d} nous notons j_{F} : X_{F} → Y l’immersion fermée de l’hypersurface correspondante.

0.2.1. Cohomologie évanescente et sous-variétés de X_{F}. Nous notons

H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} = Ker (g : H^{N}(X_{F} , ℂ) → H^{N+2}(Y, ℂ)),

la cohomologie évanescente de X_{F}, où g désigne le morphisme de Gysin. Le théorème de Lefschetz difficile affirme que nous avons une somme directe orthogonale pour le cup-produit

H^{N}(X_{F} , ℂ) = H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} ⊕ j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ).

Si W est une sous-variété de X_{F} (c’est-à-dire un sous-schéma fermé réduit) de dimension pure n, chaque composante irréductible de W définit par dualité de Poincaré une classe dans H^{2N−2n}(X_{F} , ℂ). Lorsque 2n = N, nous notons H(W) le sous-espace vectoriel de H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} engendré par les projections orthogonales de ces classes.

0.2.2. Variétés de Hodge. Nous avons une famille de structures de Hodge (H_{ℤ}^{N} = R^{N}π_{∗}ℤ; H^{N} = H_{ℤ}^{N} ⊗ O_{V^{d}} ; F^{•}H^{N}) sur V^{d}, telle que pour tout F ∈ V^{d} l’espace H^{N}(X_{F} , ℂ) s’identifie canoniquement à la fibre en F du faisceau localement constant H_{ℤ}^{N} ⊗ ℂ. Pour tout voisinage ouvert simplement connexe U ⊂ V^{d} de F, le faisceau H_{ℤ}^{N} ⊗ℂ restreint à U est constant et toute classe λ_{F} ∈ H^{N}(X_{F} , ℂ) définit une section λ ∈ (H_{ℤ}^{N} ⊗ ℂ)(U). Pour tout G ∈ U nous notons λ_{G} ∈ H^{N}(X_{G}, ℂ) la valeur de la section λ en G : c’est l’image de la classe λ_{F} par transport plat dans U.

Soit F ∈ V^{d}, soit n ∈ {0, …, N} et soit λ_{F} ∈ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} une classe de cohomologie non nulle. Nous introduisons le fermé analytique

N_{λ,U}^{d,n} = {G ∈ U | λ_{G} ∈ F^{n}H^{N}(X_{G}, ℂ)}.

0.2.3. Cas N=2n. Les variétés N_{λ,U}^{d,n} jouent un rôle particulièrement important lorsque 2n = N. On appelle alors lieu de Noether-Lefschetz, que nous notons N^{d,n}, la réunion des variétés N_{λ,U}^{d,n} pour tous les couples (λ, U) tels que la classe λ ∈ (H_{ℤ}^{2n} ⊗ ℂ)(U) est rationnelle, c’est-à-dire appartient à (H_{ℤ}^{2n} ⊗ ℚ)(U) ; nous avons encore

N^{d,n} = {G ∈ V^{d} | H^{2n}(X_{G}, ℚ) ∩ F^{n}H^{2n}(X_{G}, ℂ)_{ev} ≠ 0}.

Le lieu N_{λ}^{d,n} = ⋃_{U} N_{λ,U}^{d,n} défini par recollement est une sous-variété algébrique de V^{d} et N^{d,n} est une réunion dénombrable de variétés algébriques de V^{d} (cf. [CDK]). La conjecture de Hodge prédit que toute classe de H^{2n}(X_{F} , ℚ) ∩ F^{n}H^{2n}(X_{F} , ℂ) est algébrique, c’est-à-dire combinaison linéaire à coefficients rationnels de classes de sous-variétés algébriques de X_{F}. Si nous supposons la conjecture de Hodge vraie pour Y, le lieu de Noether-Lefschetz paramètre donc les hypersurfaces pour lesquelles la conjecture de Hodge est non triviale.

0.2.4. Énoncé. Nous montrons ici :

Théorème 1. Soient n ∈ {1, …, [N/2]} et b ∈ ℕ^{∗} des entiers, F ∈ V^{d}, U un voisinage ouvert simplement connexe de F dans V^{d} et λ_{F} ∈ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} une classe non nulle vérifiant

codim (N_{λ,U}^{d,n}, U) ≤ b\frac{d^{n}}{n!} .

Pour tout ε ∈ ℝ_{+}^{∗}, il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y, de O(1) et de ε, telle que si d ≥ Cb^{a}, où a = 2^{h^{0}(Y,O(1))−1}, alors pour tout n, F, U et λ_{F} comme ci-dessus

(1) 2n = N et

(2) il existe une sous-variété W de X_{F} de dimension n et de degré inférieur à (1+ε)b, telle que λ ∈ H(W).

Nous pensons que le théorème 1 reste vrai pour n ∈ {[N/2] + 1, …, N}.

Le cas 2n = N du théorème 1 implique immédiatement le corollaire suivant, qui est une version asymptotique très faible de la conjecture de Hodge pour les hypersurfaces.

Corollaire . Nous supposons Y de dimension 2n + 1 et que toute classe dans H^{2n}(Y, ℚ) ∩ F^{n}H^{2n}(Y, ℂ) est algébrique. Alors il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} telle que toute classe λ_{F} ∈ H^{2n}(X_{F} , ℚ) ∩ F^{n}H^{2n}(X_{F} , ℂ) vérifiant

codim (N_{λ}^{d,n}, V^{d}) ≤ (\frac{d}{C} )^{\frac{1}{a}} \frac{d^{n}}{n!} ,

où a = 2^{h^{0}(Y,O(1))}, est algébrique.

L’hypothèse de rationnalité n’est utilisée ici que pour la composante non évanescente de la classe λ_{F}. Plutôt que de plaider en faveur de la conjecture de Hodge, le théorème 1 met donc en évidence le comportement exceptionnel des classes algébriques vis-à-vis de la variation des structures de Hodge.

Le théorème 1 est l’aboutissement de l’étude des composantes des petite codimension du lieu de Noether-Lefschetz menée dans [Gre], [V1], [V2] et [O1]. Il complète et généralise [O1], où nous avons montré dans le cas Y = ℙ_{ℂ}^{2n+1} que sous les hypothèses du théorème 1 les variétés N_{λ,U}^{d,n} sont constituées par des hypersurfaces contenant une sous-variété W de dimension n et de degré inférieur à (1 + ε)b, mais où nous ne savions pas montrer λ ∈ H(W). Le cas Y = ℙ_{ℂ}^{N+1}, n = [N/2] du théorème 1 résout asymptotiquement la conjecture 1 de [O1].

0.3. Structure de la preuve.

0.3.1. Invariants algébriques des variétés de Hodge. La théorie de Griffiths [Gri] et de Carlson, Green, Griffiths et Harris [CCGH] ramène l’étude des variations infinitésimales de structures de Hodge d’hypersurfaces suffisamment amples à un problème algébrique (section 1.1). Elle décrit notamment le lieu N_{λ,U}^{d,n} à l’ordre 1 au voisinage de F, et cette description est exploitée dans [GH], [Gre], [V1] et [V2].

En raffinant cette étude nous décrivons le lieu N_{λ,U}^{d,n} au voisinage de F par une suite E_{r} d’idéaux gradués de l’algèbre ⨁_{i∈ℕ} H^{0}(Y, O_{Y} (i)) (section 1.2).

0.3.2. Étude locale des variétés de Hodge. Cette section généralise [O1].

Nous traduisons d’abord les propriétés géométriques du lieu N_{λ,U}^{d,n} par des propriétés algébriques des idéaux E_{r} (proposition 1).

D’autre part, l’étude asymptotique de la fonction de Hilbert de ces idéaux (lorsque le degré d de l’hypersurface tend vers l’infini) permet de montrer qu’il existe un entier i petit devant d tel que le lieu-base des éléments homogènes de degré i de E_{0} est de dimension n (lemme 2). En affinant notre étude, nous montrons ensuite par des techniques purement algébriques que l’idéal E_{0} contient l’idéal d’un sous-schéma V de Y de dimension pure n et de petit degré (proposition 2).

Nous supposons d assez grand et nous montrons grâce aux propositions 1 et 2 que pour tout r ∈ ℕ^{∗} l’idéal E_{r} contient le produit d’un idéal fixe (trivial lorsque V est réduit) et de la puissance (r + 1)-ième de l’idéal I_{W} du schéma réduit W associé à V (proposition 3). Enfin, nous montrons W ⊂ X_{F} (proposition 4).

0.3.3. Étude globale des variétés de Hodge. Nous étudions l’image par transport plat de la classe λ_{F} dans le lieu V^{d}(W) des hypersurfaces lisses contenant W. Nous identifions l’espace tangent en F à V^{d}(W) à l’espace des éléments homogènes de degré d de I_{W}. Nous montrons ensuite grâce aux propositions 3 et 4 que les dérivées à tout ordre en F de certaines équations de N_{λ,U}^{d,n} le long du lieu V^{d}(W) sont nulles (et même de toutes les équations dans le cas où V est réduit). Nous en déduisons par un argument d’unicité du prolongement analytique que la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}(W), F) engendrée par λ est contenue dans un petit sous-espace de H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} (proposition 5).

La fin de la preuve repose alors sur un énoncé de topologie que nous avons montré dans [O2] : pour tout sous-schéma fermé W de X_{F} dont l’idéal est engendré en degré petit devant d, l’action de monodromie de π_{1}(V^{d}(W), F) est triviale sur H(W) et irréductible sur son orthogonal dans H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} (proposition 6). La proposition 5 implique alors que la projection orthogonale de λ sur H(W)^{⊥} est nulle, ce qui implique le théorème 1.

0.3.4. Remarque. Dans [O1] nous conjecturons le résultat du théorème 1 avec une borne sur d linéaire en b, alors que la borne que nous obtenons n’est que polynomiale en b : l’obstruction essentielle pour obtenir une borne linéaire vient de ce que nous ne savons pas borner linéairement en b le degré du plus grand générateur de I_{W} ; la borne polynomiale est obtenue grâce au lemme 5.

1. Invariants algébriques des variétés de Hodge

Les notations sont celles de la section 0.2.2. Posons

S^{i} = H^{0}(Y, O_{Y} (i)), S = ⨁_{i∈ℕ}S^{i}  et  K^{i} = H^{0}(Y, Ω_{Y}^{N+1} ⊗ O_{Y} (i)), K = ⨁_{i∈ℤ}K^{i},

si bien que K est un S-module gradué de type fini. Plus généralement, pour tout S-module gradué M nous notons M^{i} ⊂ M les éléments homogènes de degré i.

1.1. Rappels sur les lieux de Hodge. Nous rappelons brièvement une théorie exposée en détail dans [Gri] et [CCGH].

1.1.1. Théorie de Griffiths. Nous avons une application résidu surjective

res : H^{N+1}(Y \ X_{F} , ℂ) → H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

Pour tout k ∈ ℤ et ω ∈ K^{kd}, la forme différentielle \frac{ω}{F^{k}} ∈ H^{0}(Y \ X_{F} , Ω_{Y \X_{F}}^{N+1} ) définit une classe [\frac{ω}{F^{k}} ] ∈ H^{N+1}(Y \ X_{F} , ℂ). Nous notons ϕ_{F,k}(ω) = res [\frac{ω}{F^{k}} ] son image dans H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

Griffiths a montré que si d est plus grand qu’une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y et de O(1), cette construction donne pour tout k ∈ ℕ^{∗} des applications surjectives

ϕ_{F,k}: K^{kd} → F^{N+1−k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}

où nous avons posé F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} = F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ) ∩ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} pour k ∈ {1, …, N + 1} et F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} = H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} pour k ≤ 0.

Nous supposerons dorénavant d ≥ C.

1.1.2. Équations locales des variétés de Hodge. Comme F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} est l’orthogonal de F^{N+1−k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} pour le cup-produit, la surjectivité de ϕ_{F,k} implique pour tout μ_{F} ∈ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}

μ_{F} ∈ F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} ⟺ ∀ω ∈ K^{kd}, μ_{F} ⌣ ϕ_{F,k}(ω) = 0,

où ⌣ désigne le cup-produit.

Supposons μ_{F} ∈ F^{k}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}. Alors pour tout G ∈ U

G ∈ N_{μ,U}^{d,k} ⟺ ∀ω ∈ K^{kd}, μ_{G} ⌣ ϕ_{G,k}(ω) = 0.

La variété N_{μ,U}^{d,k} ⊂ U est donc définie par dim (K^{kd}) équations posssiblement redondantes.

1.2. Déformations à tout ordre des lieux de Hodge. Nous fixons désormais n ∈ {1, …, N}, F ∈ V^{d}, U un voisinage ouvert simplement connexe de F dans V^{d} et λ_{F} ∈ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

1.2.1. Définition. Pour tout r ∈ ℕ nous posons

E_{r} = { P ∈ S^{•} | ∀ω ∈ K^{(n+r+1)d−•}, λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n+r+1}(P ω) = 0} .

L’idéal E_{0} a été étudié dans [Gre] et l’idéal E_{1} dans [O1].

1.2.2. Description alternative des idéaux E_{r}. Nous choisissons des cycles γ_{F,i}, i ∈ {1, …, t}, t = h_{N}(X_{F}), dont les classes [γ_{F,i}] forment une base de H_{N}(X_{F} , ℚ). Nous notons λ_{F}^{∨} ∈ H_{N}(X_{F} , ℂ) l’image de λ_{F} ∈ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} par la dualité de Poincaré et (λ_{1}, …, λ_{t}) les coordonnées complexes de λ_{F}^{∨} : nous avons λ_{F}^{∨} = ∑_{i=1}^{t} λ_{i}[γ_{F,i}].

Nous choisissons ensuite des cycles Tub γ_{i}, i ∈ {1, …, t}, à support dans Y \ X_{F} dont les classes [Tub γ_{i}] sont les images des [γ_{F,i}] par l’application tube : H_{N}(X_{F} , ℤ) → H_{N+1}(Y \X_{F} , ℤ).

Quitte à restreindre le voisinage U ⊂ V^{d} de F, nous supposons que pour tout G ∈ U et pour tout i ∈ {1, …, t} nous avons X_{G} ∩ Tub γ_{i} = ∅. La classe de Tub γ_{i} dans H_{N+1}(Y \ X_{G}, ℤ) s’identifie alors à l’image par l’application tube de [γ_{G,i}] ∈ H_{N}(X_{G}, ℤ), image de [γ_{F,i}] ∈ H_{N}(X_{F} , ℤ) par transport plat dans U.

Pour tout k ∈ ℕ^{∗} et pour tout ω ∈ K^{kd} nous avons donc

λ_{G} ⌣ ϕ_{G,k}(ω) = ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{γ_{G,i}} ϕ_{G,k}(ω) = ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{ω}{G^{k}} .

En particulier, nous en déduisons pour tout r ∈ ℕ

E_{r} = \{ P ∈ S^{•} | ∀ω ∈ K^{(n+r+1)d−•}, ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{P ω}{F^{n+r+1}} = 0\} .

1.2.3. Interprétation géométrique. L’idéal E_{r} ⊂ S décrit le lieu N_{λ,U}^{d,n} à l’ordre r + 1 au voisinage de F. Plus précisément, si τ_{F} : T_{F} U → S^{d} désigne l’isomorphisme canonique, pour tout (v⃗_{1}, …, v⃗_{r+1}) ∈ (T_{F} U)^{r+1} les assertions suivantes sont équivalentes :

(1) ∀ω ∈ K^{nd}, \frac{∂}{∂v⃗_{1}} ⋯ \frac{∂}{∂v⃗_{r+1}} (G ↦ λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(ω))(F) = 0

(2) τ_{F} (v⃗_{1}) ⋯ τ_{F} (v⃗_{r+1}) ∈ E_{r+1}^{d(r+1)}.

Remarquons que E_{r} ≠ S dès que λ_{F} ∉ F^{n+r+1}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

1.2.4. Point de vue dual. Pour tout r ∈ ℕ nous pouvons définir le module gradué

M_{r} = { ω ∈ K^{•} | ∀P ∈ S^{(n+r+1)d−•}, λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n+r+1}(P ω) = 0} .

L’espace ϕ_{F,n+r+1} (M_{r}^{(n+r+1)d}) est alors l’espace ⨁_{i∈{n+r+1,...,N}} H^{i,N−i}(λ_{F}) étudié dans [CCGH] et [GH].

L’idéal E_{r} est l’annulateur du module K/M_{r} et la forme linéaire ω ↦ λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n+r+1}(ω) sur K^{(n+r+1)d} induit une dualité parfaite

(K/M_{r})^{•} ⊗ (S/E_{r})^{(n+r+1)d−•} → ℂ.

1.2.5. Les idéaux E_{r,i}. Le S-module gradué K est de type fini ; il est donc engendré en degré inférieur à un entier m ∈ ℕ qui ne dépend que de Y et de O_{Y} (1).

Posons u = dim K^{m} et choisissons une base (ω_{1}, …, ω_{u}) de K^{m}. Pour tout i ∈ {1, …, u} posons

E_{r,i} = {P ∈ S^{•} | ∀Q ∈ S^{(n+r+1)d−m−•}, λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n+r+1}(P Qω_{i}) = 0} .

L’idéal E_{r,i} est l’annulateur du module Sω_{i}/(M_{r} ∩ Sω_{i}). Lorsque E_{r,i} ≠ S, la forme linéaire P ↦ λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n+r+1}(P ω_{i}) sur S^{(n+r+1)d−m} est non nulle et l’idéal E_{r,i} est Gorenstein de degré du socle (n + r + 1)d − m (voir section 5.1.2 pour la définition d’un idéal Gorenstein). Nous avons

E_{r} = ⋂_{i=1}^{u} E_{r,i}.

2. Description locale des variétés de Hodge

2.1. Propriétés des idéaux E_{r} issues de la géométrie. Dans cette section nous énonçons les propriétés algébriques des idéaux E_{r} qui résultent de leur interprétation géométrique.

Les notations sont celles de la section 1.2. Pour tout idéal I ⊂ S et pour r ∈ ℕ nous notons (I)^{r} la puissance r-ième de I (par opposition à I^{r}, qui désigne l’ensemble des éléments homogènes de degré r de I).

2.1.1. Dérivation des éléments de S. Soit C_{Y}^{∗} ⊂ H^{0}(Y, O(1))^{∨} le cône privé de l’origine de Y ⊂ ℙH^{0}(Y, O(1))^{∨}. Soit π : C_{Y}^{∗} → Y la projection naturelle. Pour tout a ∈ ℂ^{∗}, soit h_{a} : C_{Y}^{∗} → C_{Y}^{∗} l’homothétie de rapport a. Soit T_{Y} le faisceau tangent de Y et soit T_{C_{Y}^{∗}} le faisceau tangent de C_{Y}^{∗}. Enfin, pour tout i ∈ ℤ nous notons T̃^{i} ⊂ H^{0}(C_{Y}^{∗} , T_{C_{Y}^{∗}}) le sous-espace des sections ṽ vérifiant (h_{a})_{∗}ṽ = a^{−i}ṽ pour tout a ∈ ℂ^{∗}. Si nous identifions S à un sous-anneau de l’anneau des fonctions sur C_{Y}^{∗} alors le S-module gradué T̃ = ⨁_{i∈ℤ} T̃^{i} définit un faisceau localement libre T̃_{Y} sur Y (si bien que H^{0}(Y, T̃_{Y} ⊗ O_{Y} (i)) = T̃_{i}) qui s’insère dans la suite exacte

0 → O_{Y} → T̃_{Y} → T_{Y} → 0.

La dérivée de Lie le long d’un champ de vecteurs sur C_{Y}^{∗} donne pour tous les entiers relatifs i et j une application

T̃^{i} × S^{j} → S^{i+j}, (ṽ, P) ↦ LṽP.

2.1.2. Énoncé. La proposition 1 ci-dessous est une adaptation de la proposition 3 de [O1] qui traite le cas Y = ℙ^{N+1} et n = N/2. La première assertion est une traduction algébrique de la transversalité de Griffiths. La seconde est une conséquence de la formule de Leibniz pour la dérivation et s’inspire de l’énoncé (3.4.6) de [V2]. Enfin la troisième traduit le fait que les formes différentielles exactes ont une classe de cohomologie nulle. La preuve de la proposition 1 occupe la section 4.

Proposition 1. Pour tout r ∈ ℕ ∪ {−1} nous avons, avec la convention E_{−1} = S,

(1) E_{r} = (E_{r+1} : F).

(2) Pour un point générique F de (N_{λ,U}^{d,n})^{red} nous avons (E_{r})^{2}τ_{F} (T_{F} (N_{λ,U}^{d,n})^{red}) ⊂ E_{r+1}.

(3) Pour tout P ∈ E_{r}^{•} et pour tout ṽ ∈ T̃^{j} nous avons

(LṽP)F − (n + r + 1)P LṽF ∈ E_{r+1}^{•+d+j}.

2.1.3. Les idéaux E_{r} et l’idéal jacobien. Le S-module T̃ est de type fini, il est donc engendré en degré inférieur à un entier s ∈ ℕ qui ne dépend que de Y et de O_{Y} (1). Soit J_{F} l’idéal jacobien de F, engendré par F et par les dérivées partielles LṽF, ṽ ∈ T̃, donc engendré en degré inférieur à d + s. Comme X_{F} est lisse, l’idéal J_{F} est sans points base. Les assertions 1 et 3 de la proposition 1 (pour r = −1 et P=1) impliquent donc

Corollaire. J_{F} ⊂ E_{0} ; en particulier E_{0}^{d+s} est sans points-base.

2.2. Étude asympotique de la fonction de Hilbert des idéaux E_{r}. Dans cette section nous considérons le problème purement algébrique suivant.

2.2.1. Donnée aglébrique. Soit S l’algèbre graduée d’un schéma projectif lisse Y de dimension N + 1 muni d’un faisceau inversible très ample O_{Y} (1). Nous fixons des entiers strictement positifs u, s, m, b, d et n ∈ {1, …, N}. Nous considérons les idéaux homogènes I ⊂ S vérifiant

(1) I^{d+s} est sans points base,

(2) il existe un entier D ≥ (n + 1)d − m et des idéaux Gorenstein I_{i}, i ∈ {1, …, u} de degré du socle D tels que I = ⋂_{i=1}^{u} I_{i} et

(3) dim(S^{d}/I^{d}) ≤ b\frac{d^{n}}{n!}

2.2.2. Motivation. Nous adoptons les notations de la section 1.2. Nous supposons de plus

codim (N_{λ,U}^{d,n}, U) ≤ b\frac{d^{n}}{n!}

comme dans l’hypothèse du théorème 1. L’énoncé du théorème 1 étant stable par transport plat, nous pouvons supposer sans perdre en généralité F ∈ N_{λ,U}^{d,n} générique et par conséquent

λ_{F} ∉ F^{n+1}H^{N}(X_{F} , ℂ)

(si λ_{F} ∈ F^{n+1}H^{N}(X_{F} , ℂ) pour F générique, nous aurions codim (N_{λ,U}^{d,n+1}, U) ≤ \frac{b(n+1)}{d} \frac{d^{n+1}}{(n+1)!},

l’étude de N_{λ,U}^{d,n+1} se heurterait à une contradiction pour d > b(n + 1) dès la proposition 2). Nous avons alors E_{r} ≠ S pour tout r ∈ ℕ.

L’idéal I = E_{0} vérifie alors la donnée algébrique 2.2.1 et les idéaux E_{r} vérifient l’assertion 2 de la donnée algébrique 2.2.1. En effet, l’assertion 1 pour E_{0} est donnée par le corollaire de la proposition 1. L’assertion 2 pour E_{r} résulte par la section 1.2.5 de ce que E_{r} ≠ S. Enfin, l’assertion 3 pour E_{0} résulte des isomorphismes τ_{F} : T_{F} U ≃ S^{d} et τ_{F} : T_{F} N_{λ,U}^{d,n} ≃ E_{0}^{d}. Nous verrons aussi que les idéaux E_{r} ne sont pas loin de vérifier l’assertion 3.

Les entiers u, s et m ainsi que l’algèbre S ne dépendent que de Y et de O_{Y} (1).

2.2.3. Énoncé. L’assertion 1 de proposition 2 ci-dessous généralise la proposition 1 de [O1] qui traite le cas Y = ℙ_{ℂ}^{N+1} et I Gorenstein. Elle repose sur la comparaison pour k → ∞ entre la fonction de Hilbert k ↦ dim S^{k}/I^{k} et la dimension des lieux base des systèmes linéaires I^{k} ⊂ S^{k}. L’assertion 2 repose sur une majoration asymptotique de la régularité des idéaux \sqrt{I_{V}} et 𝔮 au sens de Bayer et Mumford. La preuve de la proposition 2 occupe la section 5.

Proposition 2. Pour tout ε ∈ ℝ_{+}^{∗} il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de ε, S, u, s et m, telle que pour tout d ≥ Cb et pour tout idéal homogène I ⊂ S vérifiant la donnée algébrique 2.2.1 l’assertion suivante est vraie.

Il existe un schéma V ⊂ Y de dimension pure n et de degré inférieur à (1 + ε)b tel que

(1) l’idéal I_{V} de V est inclus dans I

(2) les idéaux I_{W} et 𝔮 sont engendrés en degré inférieur à Cb^{a}, où I_{W} désigne l’idéal de W = V^{red}, 𝔮 est défini ci-dessous et a = 2^{h^{0}(Y,O(1))−1}.

2.2.4. Définition de l’idéal 𝔮. Comme V est de dimension pure n, I_{V} est une intersection finie d’idéaux primaires de hauteur n notés 𝔓_{i}, et I_{W} est une intersection finie d’idéaux premiers notés 𝔭_{i}, où 𝔭_{i} = \sqrt{𝔓_{i}}. Pour tout i, nous notons b_{i} la longueur de l’anneau artinien (S/I_{V})_{𝔭_{i}} = (S/𝔓_{i})_{𝔭_{i}} et δ_{i} le degré du schéma V (𝔭_{i}). Nous avons (𝔭_{i})^{b_{i}} ⊂ 𝔓_{i}; soit β_{i} < b_{i} le plus grand entier tel que (𝔭_{i})^{β_{i}} ⊄ 𝔓_{i}. Nous posons 𝔮 = ∏_{i}(𝔭_{i})^{β_{i}} et β = ∑_{i} β_{i}δ_{i}. Nous avons β ≤ ∑_{i} δ_{i}(b_{i} − 1) = deg V − deg V^{red} ≤ (1 − ε)b.

Nous avons 𝔮I_{W} ⊂ I_{V} et si V est réduit, alors 𝔮 = S.

2.3. Les idéaux E_{r} et le schéma V. Les notations sont celles de la section 1.2. Nous supposons satisfaites les hypothèses de la section 2.2.2. Comme F ∈ N_{λ,U}^{d,n} est générique nous pouvons supposer sans perdre en généralité que F vérifie l’assertion 2 de la proposition 1.

L’idéal E_{0} vérifie la donnée algébrique 2.2.1. Nous fixons ε ∈ ℝ_{+}^{∗} et nous supposons d ≥ Cb^{a}, où a = 2^{h^{0}(Y,O(1))−1} et où C est la constante donnée par la proposition 2. Nous notons V et W = V^{red} les schémas associés à E_{0} par la proposition 2.

La proposition 3 et la proposition 4 ci-dessous généralisent alors respectivement le lemme 2 et le théorème 2 de [O1]. Les preuves occupent respectivement les sections 6 et 7.

Proposition 3. Il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de ε, de Y et de O_{Y} (1) telle que pour tout d ≥ Cb^{a} et pour tout r ∈ ℕ nous avons 𝔮(I_{W})^{r+1} ⊂ E_{r}.

Proposition 4. Supposons n ≤ [N/2]. Il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de ε, de Y et de O_{Y} (1) telle que pour tout d ≥ Cb^{a} nous avons F ∈ I_{W}.

3. Description globale des variétés de Hodge

3.1. Notations et rappels de topologie. Les notation sont celle de la section 0.2.1.

Le groupe π_{1}(V^{d}, F) agit par monodromie sur H^{N}(X_{F} , ℂ). Plus précisément, la théorie de Lefschetz affirme que la représentation de monodromie de π_{1}(V^{d}, F) sur H^{N}(X_{F} , ℂ) est somme directe de la représentation triviale sur j_{F}^{∗} H^{N}(Y, ℂ) et d’une représentation irréductible sur H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

Si W est une sous-variété de X_{F} de dimension n, nous notons V^{d}(W) ⊂ V^{d} l’espace paramétrant les hypersurfaces lisses contenant W. Nous étudions l’action de monodromie de π_{1}(V^{d}(W), F) sur H^{N}(X_{F} , ℂ) : pour tout sous-ensemble E ⊂ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} nous notons H(E) ⊂ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation engendrée par E et E^{⊥} ⊂ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} l’orthogonal de E pour le cup-produit.

3.2. Étude de H(λ_{F}). Nous adoptons les notations et les hypothèses des sections 2.3 et 3.1. Nous supposons d ≥ Cb^{a}, où C ∈ ℝ_{+}^{∗} est une constante vérifiant les propositions 2, 3 et 4.

L’idée de la proposition 5 ci-dessous est de considérer les équations de N_{λ,U}^{d,n} données par les éléments de degré nd de 𝔮K (voir la section 1.1.2). La proposition 3 implique alors que les dérivées en F à tout ordre le long de T_{F} V^{d}(W) de ces équations sont nulles. Par unicité du prolongement analytique nous en déduisons une condition sur les images par transport plat dans V^{d}(W) de la classe λ_{F}.

Proposition 5. H(λ_{F}) ⊂ ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥}.

Preuve. — Soient Q ∈ 𝔮 et ω ∈ K des éléments homogènes dont la somme des degrés est nd. Comme λ_{F} ∈ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ), nous avons λ_{F} ⌣ ϕ_{F,n}(Qω) = 0.

Lemme 1. Soit U_{W} un voisinage simplement connexe de F dans V^{d}(W). Pour tout G ∈ U_{W} nous avons λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω) = 0, où λ_{G} désigne l’image de λ_{F} dans H^{N}(X_{G}, ℂ) par transport plat dans U_{W}.

Preuve. — La fonction U_{W} → ℂ, G ↦ λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω) est analytique et s’annule en G = F. Par unicité du prolongement analytique, il suffit de montrer que pour tout r ∈ ℕ et pour tout v⃗ ∈ T_{F} U_{W} nous avons (\frac{∂}{∂v⃗} )^{r+1} (G ↦ λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω))(F) = 0.

Or d’après la section 1.2.2, nous avons

(\frac{∂}{∂v⃗} )^{r+1} (G ↦ λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω))(F) = (\frac{∂}{∂v⃗} )^{r+1} (G ↦ ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{Qω}{G^{n}} ) (F)

= \frac{(−1)^{r+1}(n + r)!}{(n − 1)!} ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{τ_{F} (v⃗)^{r+1}Qω}{F^{r+n+1}} .

Comme v⃗ ∈ T_{F} U_{W}, donc τ_{F} (v⃗) ∈ I_{W} et donc (τ_{F} (v⃗))^{r+1}Q ∈ (I_{W})^{r+1}𝔮, d’après la proposition 3 nous avons (τ_{F} (v⃗))^{r+1}Q ∈ E_{r}, donc (\frac{∂}{∂v⃗} )^{r+1} (G ↦ λ_{G} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω))(F) = 0. □

Fin de la preuve de la proposition 5. — Soit p_{W} : { \atop V^{d}(W)} → V^{d}(W) le revêtement universel de V^{d}(W) et soit F̃ ∈ p_{W}^{−1}(F). Pour tout G ∈ V^{d}(W) et G̃ ∈ p_{W}^{−1}(G) nous notons λ^{F̃,G̃} ∈ H^{N}(X_{G}, ℂ) l’image de λ_{F} par transport plat le long de l’image par p_{W} d’un chemin reliant F̃ à G̃. Le lieu { \atop N_{λ,μ}} = \{G̃ ∈ { \atop V^{d}(W)} | λ^{F̃,G̃} ⌣ ϕ_{G,n}(Qω) = 0\} est un sous-fermé analytique de { \atop V^{d}(W)} ; comme

{ \atop V^{d}(W)} est irréductible, le lemme 1 implique { \atop N_{λ,μ}} = { \atop V^{d}(W)}. En particulier, { \atop N_{λ,μ}} contient p_{W}^{−1}(F), ce qui implique H(λ_{F}) ⊂ ϕ_{F,n}(Qω)^{⊥}. □

Remarque. — Lorsque V est réduit la proposition 5 donne H(λ_{F}) ⊂ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}. Plus précisément, la preuve implique qu’alors V^{d}(W) est inclus dans N_{λ,U}^{d,n}.

3.3. Un énoncé de monodromie. Nous adoptons les notations des sections 3.1 et 0.2.1. Pour toute sous-variété W de X_{F} de dimension n l’espace H(W) est π_{1}(V^{d}(W), F)-invariant, et comme H(W) ⊂ H^{n,n}(X_{F})_{ev}, le théorème d’indice de Hodge implique que la restriction du cup-produit à H(W) est non dégénérée et nous avons l’égalité de π_{1}(V^{d}(W), F)-modules H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} = H(W) ⊕ H(W)^{⊥}.

Nous supposons n ∈ {1, …, [N/2]} et nous notons e ∈ ℕ le plus petit entier tel que W est engendré en degré strictement inférieur à e. Remarquons que lorsque W est donné par la proposition 2, nous avons e ≤ Cb^{a} + 1. Nous avons montré dans [O2] :

Proposition 6. Il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y et de O_{Y} (1), telle que pour tout d ≥ Ce la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation de monodromie sur H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} est

(1) irréductible pour N > 2n;

(2) somme directe d’une représentation triviale sur H(W) et d’une représentation irréductible sur H(W)^{⊥} pour N = 2n.

3.4. Preuve du théorème 1. Nous adoptons les hypothèses du théorème 1. Nous fixons ε ∈ ℝ_{+}^{∗} et nous supposons d ≥ Cb^{a}, où C ∈ ℝ_{+}^{∗} est une constante vérifiant les propositions 5 et 6.

Nous avons ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd}) ≠ 0 (en effet, si nous choisissons par exemple ω ∈ K^{d−β} et Q ∈ 𝔮^{β} tels que la section Qω ∈ K^{d} ne s’annule pas sur X_{F}, la classe ϕ_{F,n}(F^{n−1}Qω) = res [\frac{Qω}{F} ] est

non nulle), donc ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥} ≠ H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}.

Si 2n < N, l’assertion 1 de la proposition 6 implique H(λ_{F}) = H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}, or la proposition 5 implique ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥} = H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}, contradiction : la classe λ_{F} n’existe pas.

Si 2n = N, supposons par l’absurde λ_{F} ∉ H(W). Il existe alors des classes γ_{F} ∈ H(W) et ν_{F} ∈ H(W)^{⊥} \ {0} telles que λ_{F} = γ_{F} + ν_{F}. D’une part, comme dim H(W)^{⊥} > 1, l’assertion 2 de la proposition 6 implique que la π_{1}(V^{d}(W), F)-représentation sur H(W)^{⊥} est irréductible et non triviale, donc H(λ_{F}) = ℂγ_{F} ⊕ H(W)^{⊥}, ce qui implique H(W)^{⊥} ⊂ H(λ_{F}) ⊂ ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥} d’après la proposition 5. D’autre part nous avons H(W) ⊂ F^{n}H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev} ⊂ ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥}. Nous avons donc H(W)^{⊥} ⊕ H(W) ⊂ ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥}, donc ϕ_{F,n}(𝔮K^{nd})^{⊥} = H^{N}(X_{F} , ℂ)_{ev}, contradiction. Donc λ_{F} ∈ H(W). □

4. Preuve de la proposition 1

L’assertion 1 de la proposition 1 est évidente.

4.1. Preuve de l’assertion 2. Pour tout G ∈ N_{λ,U}^{d,n} définissons l’idéal E_{r}(G) associé à la classe λ_{G}, par analogie avec l’idéal E_{r} = E_{r}(F) associé à la classe λ_{F}. Pour tout k ∈ ℕ posons

E_{r}^{k} = {(P, G) ∈ S^{k} × (N_{λ,U}^{d,n})^{red} | P ∈ E_{r}^{k}(G)} .

Nous choisissons un point lisse F ∈ (N_{λ,U}^{d,n})^{red} tel que pour tout k ∈ ℕ il existe un voisinage lisse U_{r,k} de F dans (N_{λ,U}^{d,n})^{red} tel que la restriction de la projection pr_{k} : E_{r}^{k} → (N_{λ,U}^{d,n})^{red} à pr_{k}^{−1}(U_{r,k}) est un fibré trivial.

Soient i et j deux entiers positifs, P ∈ E_{r}^{i}, Q ∈ E_{r}^{j} et R = τ_{F} (r⃗), avec r⃗ ∈ T_{F} (N_{λ,U}^{d,n})^{red} : nous devons montrer P QR ∈ E_{r+1}.

Posons U_{r,i,j} = U_{r,i} ∩ U_{r,j} : nous avons des fibrés triviaux pr_{i} : pr_{i}^{−1}(U_{r,i,j}) → U_{r,i,j} et pr_{j} : pr_{j}^{−1}(U_{r,i,j}) → U_{r,i,j}, ils possèdent donc des sections P : U_{r,i,j} → pr_{i}^{−1}(U_{r,i,j}) et Q : U_{r,i,j} → pr_{j}^{−1}(U_{r,i,j}), telles que P(F) = P et Q(F) = Q; nous identifions ces sections à des fonctions analytiques P : U_{r,i,j} → S^{i} et Q : U_{r,i,j} → S^{j} telles que P(G) ∈ E_{r}^{i}(G) et Q_{i}(G) ∈ E_{r}^{j}(G) pour tout G ∈ U_{r,i,j}.

Pour tout ω ∈ K^{(n+r+1)d−i−j} la fonction

U_{r,i,j} → ℂ, G ↦ ∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{P(G)Q(G)ω}{G^{n+r+1}}

est identiquement nulle ; en la dérivant en F le long du vecteur r⃗ nous obtenons l’égalité

∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} ( \frac{\frac{∂P}{∂r⃗}(F)Qω}{F^{n+r+1}} + \frac{P \frac{∂Q}{∂r⃗}(F)ω}{F^{n+r+1}} − (n + r + 1)\frac{RP Qω}{F^{n+r+2}} ) = 0.

Comme P ∈ E_{r}^{i} et Q ∈ E_{r}^{j}, les deux premiers termes sont nuls, ce qui implique l’assertion 2. □

4.2. Preuve de l’assertion 3. Notons K_{C_{Y}^{∗}} le faisceau canonique de C_{Y}^{∗}. Pour tout i ∈ ℤ notons K̃^{i} ⊂ H^{0}(C_{Y}^{∗} , K_{C_{Y}^{∗}}) le sous-espace des sections ω vérifiant h_{a}^{∗}ω = a^{i}ω pour tout a ∈ ℂ^{∗}. Si e⃗ ∈ T̃^{1} désigne le champ d’Euler (radial et invariant par homothétie), nous avons pour tout i ∈ ℤ des isomorphismes canoniques Inte⃗ : K̃^{i} → K^{i}.

Soient P ∈ E_{r}, ṽ ∈ T̃ et ω ∈ ⨁_{j∈ℤ} K̃_{j} des éléments homogènes dont la somme des degrés est égale à (n + r + 1)d. Nous avons l’égalité des (N + 1)-formes différentielles homogènes de degré 0 sur C_{Y}^{∗} \ π^{−1}(X_{F}) :

Lṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) = \frac{P Lṽ ω}{F^{n+r+1}} + \frac{(LṽP)ω}{F^{n+r+1}} − (n + r + 1)\frac{(LṽF)P ω}{F^{n+r+2}} .

Nous étudions l’image par Inte⃗ de cette égalité, que nous interprétons comme une égalité entre formes différentielles sur Y \ X_{F}.

En appliquant deux fois la formule de Cartan-Lie L = D ∘ Int + Int ∘ D à l’image par Inte⃗ du membre de gauche, nous obtenons successivement :

Inte⃗ Lṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) = Inte⃗ D Intṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) = −D Inte⃗ Intṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} )

(la première égalité résulte de ce que D (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) = 0, puisque ω est de degré maximal, et la seconde de ce que Le⃗ Intṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) = 0, puisque la forme différentielle Intṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) est invariante par homothétie). En particulier, la forme Inte⃗ Lṽ (\frac{P ω}{F^{n+r+1}} ) est exacte.

Nous avons donc

∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} (\frac{P Inte⃗ Lṽ ω}{F^{n+r+1}} + \frac{(LṽP)Inte⃗ ω}{F^{n+r+1}} − (n + r + 1)\frac{(LṽF)P Inte⃗ ω}{F^{n+r+2}} ) = 0.

Comme P ∈ E_{r}^{•}, le premier terme est nul, donc

∑_{i=1}^{t} λ_{i} ∫_{Tub γ_{i}} \frac{(LṽP)F Inte⃗ω − (n + r + 1)(LṽF)P Inte⃗ω}{F^{n+r+2}} = 0.

Ceci implique l’assertion 3, par définition de l’idéal E_{r+1}. □

5. Preuve de la proposition 2

5.1. Notations et rappels. Les notations sont celles de la section 2.2.1. Nous posons A = dim S^{1} = h^{0}(Y, O(1)) et nous notons 𝔖 l’algèbre des polynômes à A variables. Le plongement Y ⊂ ℙ_{ℂ}^{A−1} donné par O_{Y} (1) identifie S à un quotient de 𝔖.

5.1.1. Lieu-base d’un idéal. Soit I ⊂ S un idéal homogène. Pour tout i ∈ {0, …, N + 1} nous notons l_{i}(I) ∈ ℕ ∪ ∞ le plus petit nombre l ∈ ℕ ∪ ∞ tel que le lieu-base de I^{l} est de dimension inférieure ou égale à N − i (en convenant que la partie vide est de dimension −1). De manière équivalente l_{i}(I) est le plus grand nombre l ∈ ℕ∪∞ tel que le lieu-base de I^{l−1} est de dimension supérieure ou égale à N − i + 1. Nous avons l_{0}(I) ≤ ⋯ ≤ l_{N+1}(I). L’idéal I est sans points base si et seulement si l_{N+1}(I) < ∞; le cas échéant l’idéal I contient une intersection complète de multidegré (l_{0}(I), …, l_{N+1}(I)).

5.1.2. Idéaux Gorenstein. Nous disons que l’idéal I ⊂ S est Gorenstein de degré du socle D si I^{D+1} = S^{D+1} et s’il existe une forme linéaire Λ ∈ (S^{D})^{∨} telle que pour tout d ∈ {0, …, D} nous avons

I^{d} = {P ∈ S^{d} | ∀Q ∈ S^{D−d}, Λ(P Q) = 0}.

Remarquons que l’idéal I ⊂ S est Gorenstein si et seulement si sa préimage dans 𝔖 l’est. La forme linéaire Λ induit alors pour tout d ∈ {0, …, D} un isomorphisme canonique S^{d}/I^{d} ≃ (S^{D−d}/I^{D−d})^{∨}.

Soient I et I′ deux idéaux Gorenstein associés aux formes linéaires Λ ∈ (S^{D})^{∨} et Λ′ ∈ (S^{D′})^{∨}. Supposons I ⊂ I′ (donc D ≥ D′). Alors l’image de Λ′ dans (S^{D′}/I^{D′})^{∨} s’identifie via l’isomorphisme induit par Λ à un polynôme F̄ ∈ S^{D−D′}/I^{D−D′}. Pour tout polynôme Q ∈ S^{D′}, nous avons Λ′(Q) = Λ(QF), où F ∈ S^{D−D′} est un relevé de F̄. Nous avons donc I′ = (I : F).

5.1.3. Intersections complètes. Soit I ⊂ S un idéal homogène intersection complète sans points base. Lorsque S est une algèbre de polynômes, l’idéal I est Gorenstein de degré du socle ∑_{i=0}^{N+1}(l_{i}(I) − 1). Pour S quelconque l’idéal I n’est pas en général Gorenstein. Cependant, il existe toujours une constante C qui ne dépend que de S telle que I coïncide avec S en degré ∑_{i=0}^{N+1} l_{i}(I) + C.

5.2. Généralisation des résultats de [O1]. Les notations sont celles des sections 2.2.1 et 5.1.

Les lemmes 2 et 3 ci-dessous généralisent respectivement le lemme 1 et la proposition 1 de [O1] auquels leurs preuves se ramèment. Ces lemmes serviront dans les sections 6 et 7. L’assertion 1 du lemme 3 est l’assertion 1 de la proposition 2. Les assertions 2 et 3 du lemme 3 serviront à la preuve de l’assertion 2 de la proposition 2, qui occupe la section 5.3.

Lemme 2. Pour tout ε ∈ ℝ_{+}^{∗} il existe une constante C ∈ ℕ^{∗} qui ne dépend que de ε, S, u et m, telle que pour tout d ≥ Cb et pour tout idéal homogène I ⊂ S vérifiant les assertions 2 et 3 de la donnée algébrique 2.2.1, nous avons l_{j}(I) ≤ εd pour tout j ∈ {0, …, N − n}.

Preuve. — Dans le cas où l’idéal I est Gorenstein, la preuve du lemme 2 est calquée sur celle du lemme 1 de [O1]. Le cas général s’en déduit : considérons l’idéal ∏_{i=1}^{u} I_{i} ⊂ I : pour tout j ∈ {0, …, N − n} nous avons l_{j}(I) ≤ l_{j}(∏_{i=1}^{u} I_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{u} l_{j}(I_{i}) ; le lemme 2 pour les idéaux Gorenstein I_{i}, i ∈ \{1, …, u\} et pour \frac{ε}{u} au lieu de ε donne l_{j}(I_{i}) ≤ \frac{ε}{u}d, donc l_{j}(I) ≤ εd. □

Lemme 3. Pour tout ε ∈ ℝ_{+}^{∗} il existe une constante C ∈ ℕ^{∗} qui ne dépend que de ε, S, u, s et m, telle que pour tout d ≥ Cb et pour tout idéal homogène I ⊂ S vérifiant la donnée algébrique 2.2.1, il existe un schéma V ⊂ Y de dimension pure n et de degré inférieur à (1+ε)b, d’idéal I_{V} ⊂ S, tel que les assertions suivantes sont vraies

(1) I_{V} ⊂ I,

(2) ℑ_{V} = (F_{1}, …, F_{A−n−1} : G), où ℑ_{V} désigne la préimage de I_{V} dans 𝔖, où les F_{i}, i ∈ {1, …, A − n − 1} sont des polynômes homogènes de 𝔖 de degré au plus deg V en intersection complète, et où G est un polynôme homogène de 𝔖 de degré au plus (A − n − 1) deg V + C,

(3) les idéaux I et I_{V} coïncident en degré inférieur à d − (A − n − 1) deg V − C.

Preuve. — Dans le cas où l’idéal I est Gorenstein, la preuve du lemme 3 est calquée sur celle de la proposition 1 de [O1]. Nous allons en déduire le cas général.

Pour tout i ∈ {1, …, u} l’idéal I_{i} est défini par une forme linéaire Λ_{i} ∈ (S^{D})^{∨}. Soit L ⊂ (S^{D})^{∨} l’espace vectoriel engendré par les Λ_{i}; posons L^{∗} = L \ {0}. Pour tout Λ ∈ L^{∗}, l’idéal I_{Λ} associé à Λ est Gorenstein et vérifie la donnée algébrique 2.2.1 ; soit V_{Λ} le schéma associé. Posons V = ⋃_{i=1}^{u} V_{Λ_{i}}. C’est un schéma de dimension pure n et comme I = ⋂_{i=1}^{u} I_{i}, son idéal coïncide avec I en degré inférieur à d − (A − n − 1) deg V − C.

Comme I = ⋂_{Λ∈L^{∗}} I_{Λ}, nous avons V = ⋃_{Λ∈L^{∗}} V_{Λ}. Pour tout sous-schéma strict V′ de V, l’espace {Λ ∈ L^{∗} | V_{Λ} ⊂ V′} ∪ {0} est donc un sous-espace vectoriel strict de L; pour Λ ∈ L^{∗} n’appartenant pas à un nombre fini de sous-espaces vectoriels stricts paramétrés par les sousschémas stricts de V de dimension pure n nous avons donc V_{Λ} = V. Le lemme 3 pour I_{Λ} implique alors le lemme 3 pour I. □

5.3. Les idéaux I_{W} et 𝔮 sont engendrés en petit degré. Dans cette section nous montrons l’assertion 2 de la proposition 2. Nous supposons vérifiées les hypothèses numériques de la proposition 2. Les notations sont celles de la section 2.2.4.

Lemme 4. (1) Pour tout j ∈ {0, …, N − n} nous avons l_{j}(𝔮) ≤ β.

(2) Pour Q ∈ 𝔮^{β} générique nous avons I_{W} = (I_{V} : Q).

Preuve. — Comme V (𝔭_{i}) est réduit et que l’idéal 𝔭_{i} contient en degré δ_{i} les équations des cônes de base V (𝔭_{i}), les schémas V (𝔭_{i}) et V (𝔭_{i}^{δ_{i}}) ont même point générique.

L’espace ∏_{i} (𝔭_{i}^{δ_{i}})^{β_{i}} a donc pour lieu-base le schéma ⋃_{i} V (𝔭_{i}^{δ_{i}}) de dimension n. Or ∏_{i} (𝔭_{i}^{δ_{i}})^{β_{i}} ⊂ 𝔮^{β}, donc V (𝔮^{β}) ⊂ ⋃_{i} V (𝔭_{i}^{δ_{i}}) ce qui implique l’assertion 1.

Comme 𝔭_{i}S_{𝔭_{i}} = 𝔭_{i}^{δ_{i}}S_{𝔭_{i}} et (𝔭_{i})^{β_{i}}S_{𝔭_{i}} ⊄ 𝔓_{i}S_{𝔭_{i}}, nous avons (𝔭_{i}^{δ_{i}})^{β_{i}}S_{𝔭_{i}} ⊄ 𝔓_{i}S_{𝔭_{i}}. Donc pour Q_{i} ∈ (𝔭_{i}^{δ_{i}})^{β_{i}} générique Q_{i}S_{𝔭_{i}} ⊄ 𝔓_{i}S_{𝔭_{i}}. Donc (𝔓_{i}S_{𝔭_{i}} : Q_{i}) est un idéal strict de S_{𝔭_{i}}. Donc (𝔓_{i}S_{𝔭_{i}} : Q_{i}) ⊂ 𝔭_{i}S_{𝔭_{i}}. Comme (𝔓_{i} : Q_{i}) est primaire, nous en déduisons (𝔓_{i} : Q_{i}) ⊂ 𝔭_{i}. Réciproquement, comme Q_{i} ∈ (𝔭_{i})^{β_{i}}, nous avons Q_{i}𝔭_{i} ⊂ (𝔭_{i})^{β_{i}+1} ⊂ 𝔓_{i}, donc 𝔭_{i} ⊂ (𝔓_{i} : Q_{i}). Finalement 𝔭_{i} = (𝔓_{i} : Q_{i}). Posons Q = ∏_{i} Q_{i}. L’assertion 2 résulte de ce que I_{W} = ⋂_{i} 𝔭_{i} = ⋂_{i}(𝔓_{i} : Q_{i}) = (I_{V} : Q). □

Lemme 5. Il existe une constante C qui ne dépend que de ε, S, u, s et m, telle que les idéaux I_{W} et 𝔮 sont engendrés en degré inférieur à Cb^{a}, où a = 2^{A−1}.

Preuve. — D’après l’assertion 2 du lemme 3, nous avons ℑ_{V} = (F_{0}, …, F_{A−n−1} : G), où les F_{i} sont en intersection complète et vérifient deg F_{i} ≤ (1+ε)b, et où deg G ≤ (A−n+1)(1+ε)b+C′, où C′ est la constante donnée par le lemme 3. Notons ℑ_{W} la préinage de I_{W} ⊂ S dans 𝔖. L’assertion 2 du lemme 4 implique ℑ_{W} = (F_{0}, …, F_{A−n−1} : GQ), où Q désigne une préimage de Q ∈ S dans 𝔖, et où deg GQ = deg G + deg Q ≤ (A − n + 1)(1 + ε)b + C′ + (1 + ε)b ≤ (A − n + 2)(1 + ε)b + C′. La suite exacte

0 ⟶ 𝔖/ℑ_{W} [− deg GQ] ⟶^{·GQ} 𝔖/(F_{0}, …, F_{A−n−1}) ⟶ 𝔖/(F_{0}, …, F_{A−n−1}, GQ) ⟶ 0

implique que la régularité au sens de Mumford-Castelnuovo (cf. [Ba-Mu], définition 3.2) de ℑ_{W} est majorée par celle des idéaux (F_{0}, …, F_{A−n−1}) et (F_{0}, …, F_{A−n−1}, GQ). Or ces idéaux sont engendrés en degré inférieur à (A − n + 2)(1 + ε)b + C′. D’après [Ba-Mu], théorème 3.7, la régularité de ℑ_{W} est donc majorée par (2(A − n + 2)(1 + ε)b + C′)^{2^{A−2}} ; donc ℑ_{W} est engendré en degré inférieur à (2(A − n + 2)(1 + ε)b + C′)^{2^{A−2}}, ce qui démontre le lemme 5 pour I_{W}.

Pour tout i nous notons G_{i} une préimage dans 𝔖 d’un élément générique de 𝔭_{i}^{δ_{i}}. Nous posons Q_{i} = Q ∏_{j≠i} G_{j} : nous avons alors deg Q_{i} ≤ deg V et 𝔭_{i} = (I_{V} : Q_{i}). En remplaçant Q par Q_{i} dans le raisonnement ci-dessus nous obtenons que l’idéal 𝔭_{i} est engendré en degré inférieur à (2(A − n + 2)(1 + ε)b + C′)^{2^{A−2}}. Comme ∑_{i} β_{i} ≤ (1 + ε)b, l’idéal 𝔮 = ∏_{i}(𝔭_{i})^{β_{i}} est donc engendré en degré inférieur à (1 + ε)b(2(A − n + 2)(1 + ε)b + C′)^{2^{A−2}}, ce qui démontre le lemme 5 pour 𝔮. □

6. Preuve de la proposition 3

Nous invitons le lecteur à supposer V réduit en première lecture (nous avons alors 𝔮 = S). Soit γ le plus petit entier tel que les idéaux I_{W} et 𝔮 sont engendrés en degré inférieur ou égal

à γ. D’après l’assertion 2 de la proposition 2, nous avons γ ≤ Cb^{a}, où C est une constante qui ne dépend que de Y, de O_{Y} (1) et de ε.

Sans perdre en généralité nous supposons ε < \frac{1}{2N}. Il existe alors une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y, de O_{Y} (1) et de ε, telle que pour tout d ≥ Cb^{a} et pour tout r ∈ ℕ^{∗} nous avons \frac{1+ε}{ε}b ≤ d, 2(r + 1)γ ≤ rd et

(n + r + 1)d − m − 2(r + 1)γ > (n + 1)(d + s) + (N − n + 1)εrd + C′, (1)

où C′ est la constante définie à la section 5.1.3. Nous supposons d ≥ Cb^{a}.

La preuve de la proposition 3 procède par approximations successives : le lemme 8 ci-dessous peut être considéré comme une version affaiblie de la proposition 3.

Lemme 6. Pour tout L ∈ S^{≤2(r+1)γ} soit L ∈ E_{r}, soit l’idéal (E_{r} : L) est distinct de S en degré (n + 1)(d + s) + (N − n + 1)εrd + C′.

Preuve. — Supposons L ∉ E_{r}, donc (E_{r} : L) ≠ S. Alors il existe i ∈ {1, …, u} tel que (E_{r,i} : L) ≠ S : l’idéal (E_{r,i} : L) est Gorenstein de degré du socle (n + r + 1)d − m − deg L. Comme deg L ≤ 2(r + 1)γ, l’inégalité (1) implique que (E_{r,i} : L), donc à fortiori (E_{r} : L) sont distincts de S en degré (n + 1)(d + s) + (N − n + 1)εrd + C′. □

Lemme 7. Pour tout L ∈ E_{r−1} dont les dérivées partielles LṽL, ṽ ∈ T̃ appartiennent à E_{r−1}, nous avons l_{j}(E_{r} : L) ≤ d + s pour tout j ∈ {0, …, N + 1}.

Preuve. — Comme L ∈ E_{r−1}, l’assertion 1 de la proposition 1 implique F ∈ (E_{r} : L). Pour tout ṽ ∈ T̃, comme LṽL ∈ E_{r−1}, l’assertion 3 de la proposition 1 implique alors LṽF ∈ (E_{r} : L). Donc J_{F} ⊂ (E_{r} : L) et d’après la section 2.1.3, l’idéal (E_{r} : L) est sans point base en degré d + s. □

Lemme 8. Pour r ≥ 1 nous avons (E_{r−1}^{≤(r+1)γ})^{2} ⊂ E_{r}.

Preuve. — Soit L ∈ (E_{r−1})^{2} tel que deg L ≤ 2(r + 1)γ. D’une part, l’assertion 2 de la proposition 1 implique Θ ⊂ (E_{r} : L), donc dim (S^{d}/(E_{r} : L)) ≤ dim (S^{d}/Θ) ≤ b\frac{d^{n}}{n!} . Comme 2(r + 1)γ ≤ rd, l’idéal (E_{r} : L) est intersection des idéaux (E_{r,i} : L) de degré du socle (n + r + 1)d − deg L ≥ (n + 1)d − m et l’idéal (E_{r} : L) satisfait les hypothèses 2 et 3 de la donnée algébrique 2.2.1. D’après le lemme 2 nous avons donc l_{j}(E_{r} : L) ≤ εd ≤ εrd pour tout j ∈ {0, …, N − n}. D’autre part, le lemme 7 implique l_{j}(E_{r} : L) ≤ d + s pour tout j ∈ {N − n + 1, …, N + 1}. L’idéal (E_{r} : L) contient donc une intersection complète sans point base dont la somme des degrés est inférieure à (N − n + 1)εrd + (n + 1)(d + s). La section 5.1.3 et le lemme 6 impliquent alors L ∈ E_{r}. □

Fin de la preuve de la proposition 3. Nous procédons par récurrence sur r.

Pour r = 0 la proposition 3 résulte de la proposition 2 et de ce que 𝔮I_{W} ⊂ I_{V}.

Supposons r > 0 et l’énoncé vrai pour r − 1 : nous avons 𝔮(I_{W})^{r+1} ⊂ E_{r−1}, et comme l’idéal 𝔮(I_{W})^{r} est engendré en degré inférieur à (r + 1)γ, 𝔮(I_{W})^{r+1} ⊂ E_{r−1}^{≤(r+1)γ}.

Soit L ∈ 𝔮(I_{W})^{r+1} ; nous pouvons supposer deg L ≤ (r + 2)γ, donc deg L ≤ 2(r + 1)γ.

D’une part l’hypothèse de récurrence et le lemme 8 donnent (𝔮)^{2}(I_{W})^{2r} ⊂ (E_{r−1}^{≤(r+1)γ})^{2} ⊂ E_{r},

et donc 𝔮(I_{W})^{r−1} ⊂ (E_{r} : L). L’assertion 1 du lemme 4 et le fait que W est de dimension pure n et de degré inférieur à (1 + ε)b impliquent alors l_{j}(E_{r} : L) ≤ r(1 + ε)b ≤ εrd pour tout j ∈ {0, …, N −n}. D’autre part L et ses dérivées partielles LṽL, ṽ ∈ T̃, appartiennent à 𝔮(I_{W})^{r}, donc à E_{r−1}. Le lemme 7 implique alors l_{j}(E_{r} : L) ≤ d+s pour tout j ∈ {N −n+1, …, N +1}. L’idéal (E_{r} : L) contient donc une intersection complète sans point base dont la somme des degrés est inférieure à (N − n + 1)εrd + (n + 1)(d + s). La section 5.1.3 et le lemme 6 impliquent alors L ∈ E_{r}. □

7. Preuve de la proposition 4

7.1. Préliminaires. Les notation sont celles de la section 0.2.2. Le faisceau inversible O_{Y} (1) définit un plongement Y ↪ ℙ_{ℂ}^{A−1}, où A = h^{0}(Y, O_{Y} (1)). Soit G = Gr_{ℂ} (A − n − 2, A) la grassmanienne ; pour tout l ∈ G, soit L ⊂ ℙ_{ℂ}^{A−1} l’espace linéaire de codimension n + 2 associé et pour tout schéma Z ⊂ ℙ_{ℂ}^{A−1} \ L, soit C(Z, l) ⊂ ℙ_{ℂ}^{A−1} le cône projectif de sommet L et de base Z.

Lemme 9. Soit M ⊂ X_{F} une variété de dimension n − 1. Alors pour l ∈ G générique, les variétés C(M, l) et X_{F} sont transverses en tout point de M.

Preuve. — Posons

Γ_{1} = {(x, l) ∈ M × G | x ∈ L}  et
Γ_{2} = {(x, l) ∈ M × G \ Γ_{1} | T_{x}C(x, l) + T_{x}X_{F} ≠ T_{x}ℙ_{ℂ}^{A−1}}.

D’une part nous avons dim Γ_{1} = dim G + dim M − codim (L, ℙ_{ℂ}^{A−1}) = dim G − 3.

D’autre part, pour tout (x, l) ∈ X_{F} × G \ Γ_{1}, le sous-espace vectoriel T_{x}C(x, l) + T_{x}X_{F} de T_{x}ℙ_{ℂ}^{A−1} est défini par une matrice de A−1 lignes et (A−n−2)+N colonnes dont les coefficients dépendent de (x, l) ; la condition T_{x}C(x, l) + T_{x}X_{F} ≠ T_{x}ℙ_{ℂ}^{A−1} équivaut à l’annulation de ses mineurs de taille (A − 1) × (A − 1), ce qui donne N − n conditions indépendantes. Nous avons donc dim Γ_{2} = dim G + dim M − (N − n) = dim G − (N − 2n + 1).

Posons Γ = Γ_{1} ∪Γ_{2}. Comme N ≥ 2n, nous avons donc dim Γ < dim G ; la projection de Γ sur G a donc pour image un fermé strict de G et le lemme 9 est vrai pour tout l ∈ G n’appartenant pas à ce fermé. □

Nous adoptons les notations de la section 2.1.1. Pour tout y ∈ Y, ỹ ∈ π^{−1}(y) et ṽ ∈ T̃, le vecteur π_{∗}ṽ(ỹ) ∈ T_{y}Y ne dépend du choix de ỹ que par la multiplication par un scalaire. Nous pouvons donc poser

T̃(l) = {ṽ ∈ T̃ | ∀y ∈ Y, π_{∗}ṽ(ỹ) ∈ T_{y}(C(y, l) ∩ Y)}.

C’est un S-module de type fini ; il est donc engendré en degré inférieur à un entier relatif t(l). Notons t la valeur de t(l) pour l ∈ G général ; c’est un entier qui ne dépend que de Y et de O(1).

Lemme 10. Soit Z une sous-variété irréductible de Y de dimension pure n et de degré α. Alors si Z ⊄ X_{F}, pour l ∈ G général, l’idéal (I_{Z}, F, LṽF | ṽ ∈ T̃(l)) coïncide avec S en degré (N − n + 1)α + d + n(d + t) + C′, où C′ est la constante définie à la section 5.1.3.

Preuve. — Posons I = (I_{Z}, F, LṽF | ṽ ∈ T̃(l)). Comme Z est de dimension pure n, pour l ∈ G générique la variété C(Z, l)∩Y est une hypersurface de Y de degré α dont l’équation appartient à I_{Z} ; nous en déduisons l_{i}(I) ≤ l_{i}(I_{Z}) ≤ α pour i ∈ {0, …, N − n}.

Comme Z est irréductible et que Z ⊄ X_{F}, nous avons dim Z ∩ X_{F} = n − 1, et comme F ∈ I, nous en déduisons l_{N−n+1} ≤ d.

Enfin, le lemme 9 appliqué à M = Z ∩X_{F} implique que si l ∈ G est générique alors pour tout y ∈ Z ∩ X_{F} nous avons T_{y}X_{F} ⊄ T_{y}(C(y, l) ∩ Y). Donc si T̃(l) est engendré en degré inférieur à t, il existe ṽ ∈ T̃(l)^{≤t} et ỹ ∈ π^{−1}(y) tels que π_{∗}ṽ(ỹ) ∉ T_{y}X_{F} et donc LṽF (y) ≠ 0. Donc pour l ∈ G général l’idéal (LṽF | ṽ ∈ T̃(l)^{≤t}) ne s’annule pas sur Z ∩ X_{F} et nous avons l_{i}(I) ≤ d + t pour i ∈ {N − n + 2, …, N + 1}.

Finalement ∑_{i=0}^{N+1} l_{i} ≤ (N − n + 1)α + d + n(d + t), ce qui implique le lemme 10. □

7.2. Preuve de la proposition 4. Nous adoptons les notations des sections 2.2, 5.3 et 7.1.

Il existe une constante C ∈ ℝ_{+}^{∗} qui ne dépend que de Y, de O_{Y} (1) et de ε, qui vérifie la proposition 3 et telle que pour tout d ≥ Cb^{a} nous avons

(2)  (N − n + 1)α + d + n(d + t) + C′ < (n + 2)d − m − r, et
(3)  r + t ≤ d − (A − n − 1)(1 + ε)b + C′′ + t,

où C′ est la constante définie à la section 5.1.3, où C′′ est la constante du lemme 3 et où r ∈ ℕ^{∗} vérifie r ≤ 2(1 + ε)b. Nous supposons d ≥ Cb^{a}.

Soit Z ⊂ W une composante irréductible ; nous devons montrer Z ⊂ X_{F}. Ceci résulte du lemme 10 ci-dessus, des lemmes 11 et 12 ci-dessous et de l’inégalité (2). □

Soit Z′ l’adhérence de W \ Z dans W : nous avons W = Z ∪ Z′. Comme les schémas Z, Z′ et V (𝔮) sont de dimension pure n, pour l ∈ G générique les schémas C(Z, l), C(Z′, l) et C(V (𝔮), l) sont des hypersurfaces de ℙ_{ℂ}^{A−1} transverses à Y. Posons α = deg Z et α′ = deg Z′. Alors deg C(Z, l) = α, deg C(Z′, l) = α′ et deg C(V (𝔮), l) = β. Notons P_{l} ∈ S^{α}, P′_{l} ∈ S^{α′} et Q_{l} ∈ S^{β} les équations respectives de leurs intersections avec Y (définies à la multiplication par un scalaire près). Posons R_{l} = P_{l}P′_{l}^{2}Q_{l} et r = deg R_{l}. Nous avons r = α + 2α′ + β ≤ 2(1 + ε)b.

Le lecteur pourra supposer V irréductible et réduit en première lecture : si V est irréductible alors Z = W et l’hypersurface C(Z′, l) est vide ; si V est réduit alors W = V et l’hypersurface C(V (𝔮), l) ∩ Y est vide ; donc si V est irréductible et réduit alors P′_{l} = Q_{l} = 1, r = deg V et R_{l} est une équation de C(V, l).

Lemme 11. Pour l ∈ G générique (I_{Z}, F, LṽF | ṽ ∈ T̃(l)) ⊂ (E_{1} : R_{l}).

Preuve. — D’une part, pour tout K ∈ I_{Z} nous avons KP′_{l} ∈ I_{W}, donc KR_{l} ∈ 𝔮(I_{W})^{2}, donc KR_{l} ∈ E_{1} par la proposition 3, donc I_{Z} ⊂ (E_{1} : R_{l}). D’autre part, comme P_{l}P′_{l}Q_{l} ∈ I_{V}, donc R_{l} ∈ I_{V}, la proposition 2 implique R_{l} ∈ E_{0} et l’assertion 1 de la proposition 1 implique F ∈ (E_{1} : R_{l}). Enfin, comme R_{l} s’annule sur C(V, l), pour tout ṽ ∈ T̃(l), LṽR_{l} s’annule sur C(V, l), donc LṽR_{l} ∈ I_{V}. La proposition 2 implique LṽR_{l} ∈ E_{0} et l’assertion 3 de la proposition 1 implique LṽF ∈ (E_{1} : R_{l}). □

Lemme 12. Pour l ∈ G général l’idéal (E_{1} : R_{l}) est distinct de S en degré (n + 2)d − m − r.

Preuve. — Nous avons I_{Z} = 𝔭_{i} pour un certain i. Alors Q_{l} ∉ (𝔭_{i})^{β_{i}+1}, donc R_{l} ∉ (𝔭_{i})^{β_{i}+2}, donc il existe ṽ ∈ T̃^{≤t} tel que LṽR_{l} ∉ (𝔭_{i})^{β_{i}+1}, donc LṽR_{l} ne s’annule pas sur C(V ((𝔭_{i})^{β_{i}+1}), l). Comme pour l ∈ G générique C(V ((𝔭_{i})^{β_{i}+1}), l) est une composante irréductible de C(V, l), LṽR_{l} ne s’annule pas sur C(V, l) et LṽR_{l} ∉ I_{V}. Comme deg LṽR_{l} ≤ r + t, l’inégalité (3) et l’assertion 3 du lemme 3 impliquent LṽR_{l} ∉ E_{0}. Les assertions 1 et 3 de la proposition 1 impliquent alors R_{l} ∉ E_{1}. Comme E_{1} = ⋂_{i=1}^{u} E_{1,i}, il existe i ∈ {1, …, u} tel que R_{l} ∉ E_{1,i} : l’idéal (E_{1,i} : R_{l}) est Gorenstein de degré du socle (n + 2)d − m − r. Le lemme 12 résulte alors de ce que (E_{1} : R_{l}) ⊂ (E_{1,i} : R_{l}). □

Références

[Ba-Mu] D. Bayer, D. Mumford. What can be computed in algebraic geometry ? Computational algebraic geometry and commutative algebra (Cortona 1991), 1-48, Sympos. Math. XXXIV, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1996).

[CCGH] J. Carlson, M. Green, Ph. Griffiths, J. Harris Infinitesimal Variations of Hodge Structures I. Comp. Math 50, p. 105-205 (1983).

[CDK] E. Cattani, P. Deligne, A. Kaplan. On the locus of Hodge classes. Journal of the AMS, Vol 8, n.2 (1995).

[Gre] M. Green. Components of maximal dimension in the Noether-Lefschetz locus. J. Differential Geometry 29, p. 295-302 (1989).

[Gri] Ph. Griffiths. On the periods of certain rational integrals I. Annals of Math. (2) 90, p. 460-495 (1969).

[GH] Ph. Griffiths, J. Harris Infinitesimal Variations of Hodge Structures II. Comp. Math 50, p. 207-265 (1983).

[O1] A. Otwinowska. Composantes de petite codimension du lieu de Noether-Lefschetz : un argument asymptotique en faveur de la conjecture de Hodge pour les hypersurfaces. J. Algebraic Geom. 12, p. 307-320 (2003).

[O2] A. Otwinowska. Monodromie d’une famille d’hypersurfaces contenant un sous-schéma fixé. Soumis, (2000).

[V1] C. Voisin. Une précision concernant le théorème de Noether. Math. Ann. 280, p. 605-611 (1989).

[V2] C. Voisin. Composantes de petite codimension du lieu de Noether-Lefschetz. Comment. Math. Helvetici 64, p. 515-526 (1989).

Ania Otwinowska Laboratoire de Mathématiques, Université Paris-Sud - Bât 425, 91405 Orsay Cedex, France e-mail : Ania.Otwinowska@math.u-psud.fr