Remarques sur les cycles de petite dimension de certaines intersections complètes

Anna Otwinowska

13 décembre 1999

Titre anglais. Remarks on small-dimensional cycles on complete intersections.

Resumé. On montre que la conjecture de Bloch-Beilinson pour les hypersurfaces implique la conjecture de Bloch-Beilinson pour certaines intersections complètes.

Abstract. We prove that the Bloch-Beilinson conjecture for hypersurfaces implies the Bloch-Beilinson conjecture for some complete intersections.

Abridged English Version. The Bloch-Beilinson conjecture for complete intersections states:

Conjecture Let X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} be a smooth complete intersection of multidegree (d_{1}, ⋯, d_{r}). Then if n − ∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k · max_{1≤i≤r} d_{i}, we have CH_{k}(X)_{hom} ⊗ ℚ = 0, where CH_{k}(X)_{hom} is the subgroup of CH_{k}(X) of cycles homologically equivalent to 0.

The above conjecture can be extended to singular complete intersections in the following way.

Stronger conjecture Let X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} be a complete intersection of multidegree (d_{1}, ⋯, d_{r}). Then if n−∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k ·max_{1≤i≤r} d_{i}, we have CH_{k}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ = 0.

Let H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r}) denote the stronger conjecture for complete intersections of multidegree (d_{1}, ⋯, d_{r}) in ℙ_{ℂ}^{n}. We show:

Theorem Let d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d be non-zero integers such that d ≥ d_{i} for all i ∈ {1 ⋯ r − 1}. We have:

1. H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) ⇒ H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d, d)

2. \begin{matrix}H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1) \\ H_{n+1}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) \end{matrix} \} ⇒ H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1, d)

3. Let (d_{1}, ⋯, d_{r}) be a multidegree such that for any i ∈ {1 ⋯ r} any complete intersection X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} of multidegree (d_{1}, ⋯, d_{r−i}) satisfies CH_{k+i}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ = 0. Then any complete intersection Y ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} of multidegree (d′_{1}, ⋯, d′_{r}), with d′_{i} ≤ d_{i} for any i ∈ {1 ⋯ r}, satisfies CH_{k}(Y − Sing Y)_{prim} ⊗ ℚ = 0.

The stronger conjecture is clearly true for quadrics, and proved for 2-, 3and 4- cycles in cubics of respective dimensions 8, 11 and 14 [6]. Thus the theorem implies the following.

Corollary The stronger conjecture is true for any complete intersection of quadrics, and for a complete intersection of cubics and quadrics in ℙ_{ℂ}^{n} for n ≤ 15.

1 Introduction

On commence par rappeler un théorème classique, qui a été montré par Mumford [5] pour les 0-cycles sur les surfaces, Roitman [8] pour les 0-cycles, et enfin Paranjape [7] dans le cas général, en utilisant des méthodes de décomposition de la diagonale developpées par Bloch et Srinivas [2].

Théorème 1 Soit X une variété projective lisse de dimension N. Si l’application classe CH_{l}(X) ⊗ ℚ → H^{2N−2l}(X, ℚ) est injective pour tout l ≤ k, alors on a H^{q}(X, Ω^{p}) = 0 pour p ≠ q, q ≤ k.

La réciproque de ce théorème a été conjecturée par Bloch et Beilinson. Or dans le cas des intersections complètes on a

Théorème 2 Soit X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} une intersection complète lisse de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}). Alors on a H^{q}(X, Ω^{p}) = 0 pour p ≠ q, q ≤ k si et seulement si n − ∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k · max_{1≤i≤r} d_{i}.

(voir par exemple [3]). Ainsi la conjecture de Bloch-Beilinson devient :

Conjecture 1 Soit X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} une intersection complète lisse de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}). Alors si n−∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k·max_{1≤i≤r} d_{i} on a CH_{k}(X)_{hom}⊗ℚ = 0, où CH_{k}(X)_{hom} désigne le sous-groupe de CH_{k}(X) des cycles homologiquement équivalents à 0.

On pose CH_{k}(X)_{prim} : = Coker(CH_{k+r}(ℙ^{n}) → CH_{k}(X)). Cette définition s’étend au cas où X est une variété quasi-projective quelconque. Dans le cas où X est une intersection complète lisse de dimension n − r, cette notion généralise à torsion près celle de CH_{k}(X)_{hom} pour k ≤ (n−r)/2. En effet, le théorème de Lefschetz montre que si X est une intersection complète lisse, l’application naturelle CH_{k}(X)_{hom} → CH_{k}(X)_{prim} est un isomorphisme à torsion près. On s’intéressera d’ailleurs dans la suite uniquement aux cycles à coefficients rationnels. Cela permet de formuler la conjecture plus générale suivante.

Conjecture 1 renforcée Soit X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} une intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}). Alors si n − ∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k · max_{1≤i≤r} d_{i} on a CH_{k}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ = 0.

D’après ce qui précède, cet énoncé est équivalent au premier lorsque X est lisse. Pour une intersection complète singulière X telle que dim(Sing X) < k, il entraîne que CH_{k}(X)_{prim} ⊗ ℚ = 0 si n − ∑_{i=1}^{r} d_{i} ≥ k · max_{1≤i≤r} d_{i}. Il est probable que sous les mêmes hypothèses, on a en fait CH_{k}(X)_{prim} ⊗ ℚ = 0. Nous avons cependant besoin de nous restreindre aux ouverts lisses parce que le procédé de Bloch et Srinivas auquel fait appel le lemme 1 ci-dessous n’est valable que dans le cas des morphismes dont la fibre générique est lisse.

On note H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r}) la conjecture 1 renforcée pour les intersections complètes de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}) dans ℙ_{ℂ}^{n}.

Le but de cette note est de montrer :

Théorème 3 Soient n, d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d des entiers non nuls tels que d ≥ d_{i} pour tout i ∈ {1 ⋯ r − 1}. On a :

1. H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) ⇒ H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d, d)

2. \begin{matrix}H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1) \\ H_{n+1}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) \end{matrix} \} ⇒ H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1, d).

3. On se donne un multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}). On suppose que pour tout i ∈ {1 ⋯ r}, toute intersection complète X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−i}) vérifie CH_{k+i}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ = 0. Alors toute intersection complète Y ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} de multidegré (d′_{1}, ⋯, d′_{r}), avec d′_{i} ≤ d_{i} pour tout i ∈ {1 ⋯ r}, vérifie CH_{k}(Y − Sing Y)_{prim} ⊗ ℚ = 0.

La conjecture 1 renforcée étant triviale pour les quadriques, et démontrée pour les 2-, 3- et 4- cycles pour les cubiques de dimensions respectives ≥ 8, 11 et 14 (cf. [6]), on a en particulier le corollaire suivant.

Corollaire 1 La conjecture 1 renforcée est vraie pour une intersection complète quelconque de quadriques, et pour une intersection complète de cubiques et de quadriques dans ℙ_{ℂ}^{n}, avec n ≤ 15.

2 Preuve du théorème 3. 1.

Soit Y une intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d, d) dans ℙ^{n}. Alors Y est l’intersection

– d’une intersection complète X de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−1})

– de deux hypersurfaces X_{1} et X_{2} de degré d.

Soit P ≃ ℙ_{ℂ}^{1} le pinceau engendré par X_{1} et X_{2} dans ℙ(H^{0}(O_{X}(d))). À un élément α de P correspond une hypersurface X_{α} de X qui est une intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) dans ℙ^{n}. On a alors Y = ⋂_{α∈P} X_{α}. On pose

X : = {(x, α) ∈ X × P, x ∈ X_{α}}.

On note π la projection de X sur X, et p la projection de X sur P. On remarque que le morphisme π indentifie X à l’éclaté de X le long de Y. On pose U_{Y} : = Y − Sing Y et U_{X} : = X − (Sing X ∪ Sing Y). On a U_{Y} = U_{X} ∩ Y; en particulier U_{Y} est un fermé dans U_{X}. On note U l’ouvert lisse de X obtenu comme éclaté de U_{X} le long de U_{Y}. On a donc U = π^{−1}(U_{X}). Par la description classique du groupe de Chow d’un éclaté on a

CH_{k+1}(U) ≃ CH_{k+1}(U_{X}) ⊕ CH_{k}(U_{Y})  (1)

où l’application CH_{k}(U_{Y}) → CH_{k+1}(U) est définie sur les sous-variétés fermées de U_{Y} par Z ↦ Z × P.

Lemme 1 La fibre générique de p : U → P est lisse, et si n−(∑_{i=1}^{r−1} d_{i}+d) ≥ kd, la propriété H_{n}(d_{1}, …, d_{r−1}, d) étant supposée vraie, CH_{k+1}(U) ⊗ ℚ est engendré par les cycles à support dans les fibres de p et par une puissance de la classe de la section hyperplane H : = π^{∗}c_{1}(O_{X}(1)).

Démonstration — La lissité de la fibre générique résulte par le théorème de Bertini de ce que U et P sont lisses. On en déduit que pour α ∈ P générique l’application π identifie U_{α} := p^{−1}(α) à un ouvert de Zariski de X_{α}−Sing X_{α}. Par l’hypothèse H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) cela implique CH_{k}(U_{α})_{prim} ⊗ℚ = 0. Soit Z ∈ CH_{k+1}(U). Comme pour tout α ∈ P le groupe CH_{k}(U_{α})⊗ℚ est engendré par la restriction de la classe H^{n−k−r} à U_{α}, il existe des entiers N ∈ ℕ^{∗} et m ∈ ℕ tels que la restriction de NZ−mH^{n−k−r} à U_{α} s’annule dans CH_{k}(U_{α}) pour α ∈ P générique; par un argument classique dû à Bloch et Srinivas [2] cela implique qu’un multiple de NZ − mπ^{∗}H^{n−k−r} est à support dans les fibres de p. □

Preuve du théorème 3.1. — Soit

f : CH_{k+1}(U) → CH_{k}(U_{Y})

l’application surjective donnée par la seconde projection dans la décomposition (1), et qui est aussi la composée de la restriction au diviseur exceptionnel U_{Y} × ℙ^{1} avec la projection π_{Y} _{∗} : U_{Y} × ℙ^{1} → ℙ^{1}.

Comme pour tout α ∈ P on a Y ∩ Sing X_{α} ⊂ Sing Y, les lieux Sing X_{α}, α ∈ P ne rencontrent pas U_{Y}. Ainsi les cycles à support dans ∪_{α∈P} Sing X_{α} sont dans le noyau de f.

Supposons désormais n−(∑_{i=1}^{r−1} d_{i} +d) ≥ (k+1)d. D’après le lemme 1, le groupe CH_{k+1}(U) ⊗ ℚ est engendré par H^{n−k−r} et par des cycles à support dans les fibres de p. Or, par l’hypothèse H(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d), pour tout α ∈ P on a CH_{k+1}(X_{α} − Sing X_{α})_{prim} ⊗ ℚ = 0, donc le groupe CH_{k+1}(U) ⊗ ℚ est engendré par H^{n−k−r} et par des cycles à support dans ∪_{α∈P} Sing X_{α}.

Ainsi, CH_{k}(U_{Y}) ⊗ ℚ est engendré par f(H^{n−k−r}), donc CH_{k}(U_{Y})_{prim} ⊗ ℚ = 0, ce qui est exactement la propriété H_{n}(d_{1}, …, d_{r−1}, d, d).

3 Preuve du théorème 3.2.

Soit Y une intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1, d) dans ℙ_{ℂ}^{n}. Alors Y est intersection complète

– d’une intersection complète X de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r−1}) ;

– d’une hypersurface S de degré d−1 définie par un polynôme F (X_{0}, …, X_{n}) ;

– d’une hypersurface T de degré d définie par un polynôme G(X_{0}, …, X_{n}) .

Soit ℙ_{ℂ}^{n} ⊂ ℙ_{ℂ}^{n+1} défini par X_{n+1} = 0 et soit

π : ℙ_{ℂ}^{n+1} − O → ℙ_{ℂ}^{n}
(X_{0}, …, X_{n}, X_{n+1}) ↦ (X_{0}, …, X_{n})

la projection de centre O : = (0 ⋯ 0, 1) . On note { \atop ℙ_{ℂ}^{n+1}} l’éclatement de ℙ_{ℂ}^{n+1}

en O et π̃ : { \atop ℙ_{ℂ}^{n+1}} → ℙ_{ℂ}^{n} la projection induite par π. Soit Z l’hypersurface de ℙ_{ℂ}^{n+1} définie par l’équation X_{n+1}F + G = 0. Le point O ∈ Z est singulier à l’ordre d − 1 et l’éclaté Z̃ de Z en O s’identifie au transformé strict de Z dans { \atop ℙ_{ℂ}^{n+1}}. Soit τ : Z̃ → Z l’application d’éclatement.

D’une part le diviseur exceptionnel τ^{−1}(O) est isomorphe à S.

D’autre part l’application

π̃_{|Z̃} : Z̃ → ℙ_{ℂ}^{n}

s’identifie à l’éclatement { \atop ℙ_{S∩T}^{n}} de S ∩ T dans ℙ_{ℂ}^{n}.

En restreignant à X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} la construction ci-dessus, on définit la variété Z_{X} ⊂ ℙ_{ℂ}^{n+1} − O comme l’intersection de Z avec π^{−1}(X) et la variété Z̃_{X} comme l’éclaté de Z_{X} en O. Comme X est en intersection complète avec T et S, les faits suivants découlent directement du cas X = ℙ_{ℂ}^{n}:

– le diviseur exceptionnel τ_{X}^{−1}(O) de τ_{X} : Z̃_{X} → Z_{X} est isomorphe à X ∩ S;

– l’application π_{|Z̃_{X}} : Z̃_{X} → X s’identifie à l’éclatement de Y dans X.

Preuve du théorème 3.2. — On suppose désormais n−(∑_{i=1}^{r−1} d_{i}+d+d−1) ≥ (k − 1)d. On a donc aussi n + 1 − (∑_{i=1}^{r−1} d_{i} + d) ≥ kd et n − (∑_{i=1}^{r−1} d_{i} + d − 1) ≥ kd ce qui permet d’appliquer les propriétés H_{n+1}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) et H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d − 1).

Comme τ_{X}^{−1}(O) = X ∩ S, on a la suite exacte :

CH_{k}((X ∩ S) − (Sing (X ∩ S) ∪ Sing Z̃_{X})) →^{j_{∗}} CH_{k}(Z̃_{X} − (Sing (X ∩ S) ∪ Sing Z̃_{X})) →

→ CH_{k}(Z_{X} − Sing Z_{X}) → 0.

D’après l’hypothèse H_{n+1}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d) on a CH_{k}(Z_{X} −Sing Z_{X})_{prim}⊗ℚ = 0 et d’après l’hypothèse H_{n}(d_{1}, ⋯, d_{r−1}, d−1) on a CH_{k}((X ∩S)−Sing (X∩ S))_{prim} ⊗ ℚ = 0. Ainsi CH_{k}(Z̃_{X}) ⊗ ℚ est engendré par τ^{∗}H^{n+1−r−k}, par j_{∗}H^{n−r−k} et par des cycles à support dans Sing (X ∩ S) ∪ Sing Z̃_{X}.

D’autre part, la variété Z̃_{X} est l’éclatement de X le long de Y. On pose U_{Y} := Y − Sing Y et U_{X} := X − (Sing X ∪ Sing Y). Comme U_{Y} = U_{X} ∩ Y, la variété U_{Y} est un fermé dans U_{X}. L’ouvert U : = Z̃_{X} − π̃_{|Z̃_{X}}^{−1}(Sing X) −

π̃_{|Z̃_{X}}^{−1}(Sing Y) de Z̃_{X} est donc l’éclatement de U_{X} le long de U_{Y}. Par la description classique du groupe de Chow d’un éclaté on a

CH_{k}(U) = CH_{k}(U_{X}) ⊕ CH_{k−1}(U_{Y}).

La variété U est lisse, donc ne rencontre pas Sing Z̃_{X}. Ainsi, CH_{k}(U) ⊗ ℚ est engendré par τ^{∗}H^{n+1−r−k}, par j_{∗}H^{n−r−k} et par des cycles à support dans j(Sing (X ∩ S)) ∩ U. On en déduit que CH_{k−1}(U_{Y}) ⊗ ℚ est engendré par les images de τ^{∗}H^{n+1−r−k} et de j_{∗}H^{n−r−k}, et par des cycles à support dans (π̃_{|Z̃_{X}} ∘ j)(Sing (X ∩ S)) ∩ U_{Y} = Sing (X ∩ S) ∩ U_{Y}. Comme Y ∩ Sing (X ∩ S) ⊂ Sing Y, cette dernière variété est vide; donc CH_{k−1}(U_{Y}) ⊗ ℚ est engendré par les seules images de τ^{∗}H^{n+1−r−k} et de j_{∗}H^{n−r−k}, qui s’annulent dans CH_{k−1}(U_{Y})_{prim} ⊗ ℚ. Ainsi CH_{k−1}(U_{Y})_{prim} ⊗ ℚ = 0, ce qui achève la démonstration du théorème 3.2.

4 Preuve du théorème 3.3.

On raisonne par récurrence sur r. Pour r = 0 l’énoncé est vide. On suppose le résultat vrai pour r−1. Il suffit alors de montrer l’énoncé pour une intersection complète Y ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{i−1}, d_{i} − 1, d_{i+1}, ⋯, d_{r}).

Soit H ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} une section hyperplane. Soit L l’intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{i−1}, 1, d_{i+1}, ⋯, d_{r}) obtenue à partir de Y en remplaçant la i-ème équation par la forme linéaire définissant H. On a Y ∩ H = Y ∩ L. D’autre part Y ∪ L a une structure naturelle d’intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{r}) et vérifie donc CH_{k}((Y ∪L)−Sing(Y ∪L))_{prim}⊗ℚ = 0. Comme Y ∩L ⊂ Y ∪L est singulier, Y −((Y ∩H)∪Sing Y) est une composante connexe de (Y ∪ L) − Sing(Y ∪ L), donc CH_{k}(Y − ((Y ∩ H) ∪ Sing Y))_{prim} ⊗ ℚ = 0. Par la suite exacte de localisation, cela équivaut à la surjectivité du morphisme

CH_{k}((Y − Sing Y) ∩ H)_{prim} ⊗ ℚ → CH_{k}(Y − Sing Y)_{prim} ⊗ ℚ.

Donc tout k-cycle de Y est supporté sur une section hyperplane générique de Y.

Or on a le lemme suivant.

Lemme 2 Soit Y ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} une sous-variété quasi-projective lisse. Soit Z ∈ CH_{k}(Y) ⊗ ℚ tel que pour un hyperplan générique H ∈ ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}, le cycle Z est rationnellement équivalent dans Y à un cycle Z_{H} à coefficients rationnels à support dans Y ∩H. Alors il existe W ∈ CH_{k+1}(Y)⊗ℚ tel que Z = [H]·W, où [H] = c_{1}(O_{Y} (1)) est la classe de la restriction de H à Y.

Démonstration — On pose

Y : = {(y, H) ∈ Y × ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}, y ∈ Y ∩ H} ↪^{j} Y × ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}.

Par hypothèse, il existe un morphisme propre génériquement fini ϕ : M → ℙ_{ℂ}^{n}^{∨} de degré n_{ϕ} et un cycle W_{ϕ} ∈ CH_{n+k}(Y × M) ⊗ ℚ tels que pour m ∈ M générique la restriction W_{ϕ,m} de W_{ϕ} à Y × m est à support dans Y ∩ ϕ(m) et est rationnellement équivalente à Z. Le cycle \frac{1}{n_{ϕ}} (Id × ϕ)_{∗}W_{ϕ} est à support dans Y; soit W_{0} ∈ CH_{n+k}(Y) ⊗ ℚ un cycle vérifiant j_{∗}W_{0} = \frac{1}{n_{ϕ}} (Id × ϕ)_{∗}W_{ϕ}. Pour H ∈ ℙ_{ℂ}^{n}^{∨} générique, le cycle Z est rationnellement équivalent à j_{∗}W_{0} ∩ (Y × {H}).

La restriction

j^{∗} : CH_{k+n+1}(Y × ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}) → CH_{k+n}(Y)

est surjective car Y et Y ×ℙ_{ℂ}^{n}^{∨} sont des fibrés projectifs sur Y. Il existe donc W_{1} ∈ CH_{k+n+1}(Y × ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}) ⊗ ℚ tel que W_{0} = j^{∗}W_{1}. Or la variété Y définit un diviseur de classe h + g dans Y × ℙ_{ℂ}^{n}^{∨}, où g = p_{2}^{∗}c_{1}(O_{ℙ^{n}}(1)), si bien que j_{∗}W_{0} = (h + g)W_{1}. Comme g est nul sur Y × {H}, en restreignant cette égalité à Y × {H}, on trouve Z = h · W, avec W = W_{1} ∩ (Y × {H}). □

Soit Z ∈ CH_{k+1}(Y − Sing Y)_{prim} ⊗ ℚ, et soit X ⊂ ℙ_{ℂ}^{n} l’intersection complète de multidegré (d_{1}, ⋯, d_{i−1}, d_{i} − 1, d_{i+1}, ⋯, d_{r−1}) obtenue en enlevant la dernière équation de degré d_{r} définissant Y. On a Y ∩ Sing X ⊂ Sing Y. Soit i : Y − Sing Y ↪ X − (Sing X ∪ Sing Y) l’immersion fermée. D’après [4], Chap 6, cor 6.3, p. 102, on a:

d_{r}(Z · H) = Z · c_{1}(N (X, Y)) = i^{∗}i_{∗}(Z).

Or par hypothèse de récurrence on a CH_{k+1}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ = 0, et, comme i^{∗}i_{∗}(Z) se factorise à travers CH_{k+1}(X − Sing X)_{prim} ⊗ ℚ, on a Z · H = 0. Par le lemme 2 appliqué à Y − Sing Y et à W, cela implique CH_{k}(Y − Sing Y)_{prim} ⊗ ℚ = 0.

Remerciements. Je remercie Claire Voisin pour avoir patiemment relu et corrigé les versions préliminaires de cette note.

Références

[1] A.Beauville et R.Donagi. Sur les groupes de Chow de certaines hypersurfaces. C.R.Acad.Sc.Paris, t.301, Série 1,n^{o}14, p 73-76, (1985).

[2] S.Bloch, V.Srinivas. Remarks on correspondences and algebraic cycles. Amer. J. of Math. 105, p 1235-1253, (1980).

[3] H.Esnault, M.Levine, E.Viehweg. Chow groups of projective varieties of very small degree. Duke Math. J. 87 n^{o}1, p 29-58, (1992)

[4] W.Fulton. Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Springer (1984)

[5] D.Mumford. Rational equivalence of zero-cycles on surfaces. Journal of mathematics of Kyoto University 9 (1969).

[6] A.Otwinowska. Remarques sur les groupes de Chow des hypersurfaces de petit degré. Note soumise aux C.R.Acad.Sc.Paris

[7] K.Paranjape. Cohomological and cycle-theoretic connectivity. Annals of Math. 139, série 2, p 641-660 (1994).

[8] A.A.Roitman. Rational equivalence of zero-cycles. Math. USSR Sbornik 18, p.571-588,(1971).

Universite Paris VI, 2-4 pl. Jussieu, 75005 Paris.