Variables aléatoires réelles

Introduction

Dans de nombreuses situations, on ne s’intéresse pas directement aux évènements aléatoires eux-mêmes, mais à des grandeurs numériques qui leur sont associées : nombre de particules émises par un élément radioactif, dans une direction et durant un intervalle de temps donné, puissance moyenne d’un "bruit" accompagnant la réception d'un signal radio, etc.

²\Rightarrow² On n'explicite pas les évènements ²A \in \cT² : ceux-ci sont quantifiés via leurs images par une certaine fonction ²X².

Définition

££X : \left\{ \begin{align*} \Omega & \rightarrow \R, \quad \quad \mbox{vérifiant } X^{-1}(]a,b]) \in \cT\\ \omega & \mapsto X(\omega) \end{align*} \right. ££

Exemples

Exemple : 3 lancers d'une pièce

On cherche les probabilités d'obtenir £k£ fois face.

Loi de probabilité et moments

Définitions, propriétés

Notation : si pas d'ambiguité, £\P£ et £F£ au lieu de £\P_X£ et £F_X£.

Propriétés de la fonction de répartition

• £F(-\infty)=0£, £F(+\infty)=1£.
• £F£ est croissante : £x > y \Rightarrow F(x) \geq F(y)£.
• £F£ est continue à droite : £\lim_{y \to x+} F(y) = F(x)£.
• £\forall a,b \in \R, \quad \P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)£.
• £F£ (en tant que fonction croissante) admet un ensemble au plus dénombrable de points de discontinuité.

Tous les points ci-dessus £-£ sauf le dernier £-£ se démontrent à partir des axiomes des probabilités.

Exemple

• 3 fois "1", 4 fois "2"
• £\dots£
• 10 fois "8"
• 1 fois "9", 2 fois "10"

£F(5) = \P(X \in \{1,\dots,5\}) = \sum_{k=1}^{5} \P(X = k) = \sum_{k=3}^{7} \frac{k}{55} = \frac{5}{11}£.

£F(8) = F(5) + \P(X \in \{6,7,8\} = \frac{5}{11} + \frac{8+9+10}{55} = \frac{52}{55}£.

Représentations graphiques

Cas particuliers

Exemples

Propriétés

Donc £\P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(t) dt£

Remarque : pour une VA à densité, £\P(X = a) = 0£

Illustration

Mode, médiane, quantiles

Pour une VA discrète c'est plus délicat (unicité ?)
Par exemple £x_k = \inf \left\{x \in \R \, / \, F(x) \geq \frac{k}{p} \right\}£

Indépendance

Des VAr. £(X_i)_{i \in I}£ sont indépendantes si pour tout sous-ensemble fini d'indices £J \subseteq I£, et pour toute famille de boréliens £(B_j)_{j \in J}£ ££\P\left(\bigcap X_j \in B_j\right) = \prod_{j \in J} \P(X_j \in B_j)££

Cela revient à dire que pour toute famille finie d'évènements £A_j = X_j^{-1}(B_j)£, £\P\left(\bigcap A_j\right) = \prod \P(A_j)£.

Remarque : les VA sont indépendantes ssi. les tribus £\{X_i^{-1}(B)\}_{B \in \cB(\R)}£ pour £i \in I£ le sont.

Critères d'indépendance

Il suffit de vérifier l'indépendance sur une classe stable par intersection finie : cf. §5 ch.6 dans Calcul des probabilités de D. Foata et A. Fuchs par exemple

Espérance, variance, moments

Dans de nombreux cas, il n'est pas nécessaire de connaître une propriété de la VA aussi précise que sa fonction de répartition. Certains paramètres numériques la caractérisant peuvent suffire. L'étude de quelques-uns de ces paramètres fait l'objet de cette sous-partie.

• Espérance = moyenne d'une VA
• Variance = dispersion autour de la moyenne
• Moments = autres descripteurs (symétrie, aplatissement...)

Intégrale par rapport à une mesure

Soit £(\Omega, \cT, \P)£ un espace probabilisé. Soit £X£ une fonction mesurable de £\Omega£ dans £\R£. On souhaite définir son intégrale par rapport à la mesure £\P£.

• Étape 1 : £\int_{\Omega} \1_A(\omega) d\P(\omega) = \P(A)£
• Étape 2 : £\int \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \1_{A_i} d\P = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \P(A_i)£ (linéarité, £\lambda_i \geq 0£))
• Étape 3 : toute fonction mesurable positive £f£ est limite simple d'une suite de fonctions étagées £f_n£ et £\int f d\P = \underset{n \to +\infty}{\lim{}} \int f_n d\P£ (convergence monotone)
• Étape 4 : toute fonction mesurable s'écrit £f = f^+ - f^-£ avec £f^+(x) = \sup(0, f(x))£ et £f^-(x) = \sup(0, -f(x))£ : £\int f = \int f^+ - \int f^-£

Pour les détails, voir tout cours de théorie de la mesure / intégration niveau L3 à M1 ; celui-ci par exemple.

Espérance

On définit l'espérance d'une VAr. £X£ comme suit ££\E[X] = \int_{\Omega} X(\omega) d\P(\omega) \, ,££ sous réserve d'existence.

Propriétés

Voir par exemple §3.4 théorème 9 dans ce cours.

Espérance "usuelle"

Théorème de transfert appliqué avec £\varphi = id£

Exemples

Remarques

La formule de transfert permet le constat suivant :

On peut toutefois expliciter la loi de £Y= \phi(X)£ dans le cas £\phi£ bijective et £X£ à densité : ££g(y) = \frac{f(\phi^{-1}(y))}{|\phi'(\phi^{-1}(y))|}££ C.f. polycopié du cours.

Exemple : £Y = \phi(X)£

Quand £\phi£ n'est pas bijective, il faut rechercher un antécédent pour £X£ de l'évènement "£Y \leq y£".

Moments

Étant données une VA £X£ d'espérance finie, on appelle variable aléatoire centrée la VA ££Y = X − \E[X]££

On appelle moment d'ordre £s \in \N^*£ d'une VA £X£ la quantité – sous réserve d'existence ££m_s(X) = \E[X^s]££

Moment centré d'ordre £s£ : ££\mu_s(X) = \E[(X - \E[X])^s]££

Dispersion d'une VA

La variance (comme l'écart-type) est une mesure de la dispersion (nom parfois donné à la variance) des valeurs de la VA autour de son espérance

Illustration

Propriétés

Démonstration : définition + £\E[X_1 \times X_2] = \E[X_1] \times \E[X_2]£ si indépendance

Exemple

Soit une VA £X£ ayant pour densité £f(t) = \left\{ \begin{align*} &t/2 \mbox{ si } 0 \leq t < 2\\ &0 \mbox{ sinon} \end{align*} \right. £

Alors £\int_0^2 f(t) dt = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^2 = 1£, et ££\E[X] = \int_0^2 t \, f(t) dt = \left[ \frac{t^3}{6} \right]_0^2 = \frac{4}{3}££ ££\begin{align*}\mbox{Var}(X) &= \E[X^2] - \E[X]^2\\ &= \int_0^2 t^2 \, f(t) dt - \left(\frac{4}{3}\right)^2\\ &= \left[ \frac{x^4}{8} \right]_0^2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9} \end{align*}££

Propositions

Inégalité de Bienaymé-Tchebyshev

Preuve : ²²\begin{align*} \P(|X - \E[X]| \geq x) &= \int_{\frac{(X - \E[X])^2}{x^2} \geq 1} 1 d\P\\ &\leq \int_{\frac{(X - \E[X])^2}{x^2} \geq 1} \frac{(X - \E[X])^2}{x^2} d\P\\ &\leq \frac{1}{x^2} \int_{\Omega} (X - \E[X])^2 d\P \end{align*}²²

Lois de probabilités usuelles

Lois discrètes

Loi uniforme

Distribution qui véhicule le moins d'information (entropie maximale)

£\begin{align*}& \quad X(\Omega) = [\negthinspace[ 1,n ]\negthinspace]\\ &\quad \P(X = k) = \frac{1}{n}\end{align*}£

Notation : £X \sim \cU([\negthinspace[ 1,n ]\negthinspace])£ ou £X \sim \cU(n)£

Loi uniforme discrète (suite)

££\E[X] = \frac{n+1}{2} \, , \quad \mbox{Var}(X) = \frac{n^2-1}{12}££

Exemple : £X \sim \cU[\negthinspace[0,255]\negthinspace]£. En chaque point £(i, j) \in [\negthinspace[1, 100]\negthinspace]^2£, on représente une réalisation £X(\omega)£ en niveaux de gris.

Loi de Bernoulli

C'est la loi d'une VA £X£ ne pouvant prendre que les deux valeurs 1 ou 0 avec les probabilités £p£ et £1 - p£.

££\left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \{0, 1\}\\ \P(X = 1) &= p\\ \P(X = 0) &= 1-p = q \end{align*} \right.££

On pourra noter £X \sim Ber(p)£ (non standard)

££\E[X] = p \, , \quad \mbox{Var}(X) = pq££

Inégalité de Hoeffding

Soit ²(X_n)² une suite de VA indépendantes à support dans ²[a,b]² ²²\P(\overline{X_n} - \E[\overline{X_n}] \geq \varepsilon) \leq \exp\left(-\frac{2 n \varepsilon^2}{(b-a)^2}\right) \geq \P(\overline{X_n} - \E[\overline{X_n}] \leq -\varepsilon) \, ,²² avec ²\overline{X_n} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k².

Loi binomiale

Soient £n \in \N^*£ et £p \in [0, 1]£. Une VA £X£ suit la loi binomiale de paramètres £n£ et £p£ notée £\cB(n, p)£ si ££\left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= [\negthinspace[ 0, n ]\negthinspace]\\ \P(X=k) &= C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \end{align*} \right. ££

On modélise ainsi le cas où une même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois. Plus précisément £X£ est la somme de £n£ VA de Bernouilli indépendantes de paramètre £p£.

££\E[X] = np \, , \quad \mbox{Var}(X) = npq££

Illustration

Loi de Poisson

Soit £\lambda£ un réel positif. On dit que £X£ suit la loi de Poisson £\cP(\lambda)£ si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \N\\ \P(X = k) &= e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{align*} \right. ££

La loi de Poisson modélise par exemple le nombre d’appels à un central téléphonique pendant une période donnée, le nombre de voitures qui passent à un carrefour en un temps donné...

££\E[X] = \lambda \, , \quad \mbox{Var}(X) = \lambda££

Exemple / exercice

Un central téléphonique reçoit en moyenne 100 appels par heure. En supposant que le nombre d'appels durant un intervalle de temps quelconque suit une loi de Poisson,

1. quelle est la probabilité que le central reçoive trois appels en deux minutes ?
2. quelle est la probabilité pour qu'en deux minutes, il reçoive au moins un appel ?

Loi géométrique

Pour £p \in [0, 1]£, on définit la loi géométrique £\cG(p)£ par ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \N^*\\ \P(X = k) &= (1-p)^{k-1} p = q^{k-1} p \end{align*} \right. ££

£\P(X = k)£ = probabilité d'obtenir au cours de £k£ épreuves de Bernouilli indépendantes, £k-1£ échecs suivis d'un succès.

££\E[X] = \frac{1}{p} \, , \quad \mbox{Var}(X) = \frac{q}{p^2}££

Loi hypergéométrique

Soient £p \in [0, 1]£, £n \in \N£ et £A \in [\negthinspace[n, +\infty]\negthinspace]£. £X£ suit la loi hypergéométrique £\cH(n, p, A)£ si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &\subseteq [\negthinspace[0,n]\negthinspace]\\ \P(X = k) &= \frac{\binom{pA}{k} \, \binom{qA}{n-k}}{\binom{A}{n}} \end{align*} \right. ££

Exemple / explication :
On tire n boules (sans remise) dans une urne contenant £pA£ boules rouges et £qA£ boules bleues, soit un nombre total de boules de £A = pA + qA£. Alors la VA donnant le nombre de boules rouges suit une loi £\cH(n, p, A)£.

££\E[X] = np \, , \quad \mbox{Var}(X) = npq \frac{A - n}{A - 1}££

Lois continues

Loi uniforme

£X£ suit la loi uniforme sur £[a, b]£ si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= [a,b]\\ f(x) &= \frac{1}{b-a} \1_{[a,b]}(x) \end{align*} \right. ££

On note £X \sim \cU([a,b])£ ou £X \sim \cU(a,b)£.

££\E[X] = \frac{a+b}{2} \, , \quad \mbox{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}££

Loi exponentielle

£X£ suit la loi exponentielle de paramètre £\lambda£, notée £\cT(\lambda)£, si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \R^+\\ f_{\lambda}(x) &= \lambda e^{-\lambda x} \1_{\R^+}(x) \end{align*} \right. ££

La loi exponentielle intervient dans les processus continus sans mémoire comme la désintégration d'un noyau atomique, l'émission d’un électron... Elle généralise au cas continu la loi géométrique.

££\E[X] = \frac{1}{\lambda} \, , \quad \mbox{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}££

Loi normale (de Laplace-Gauss)

£X£ suit la loi normale de paramètre £(\mu, \sigma)£, notée £\cN(\mu, \sigma)£, si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \R\\ f_{\mu, \sigma}(t) &= \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \exp \left( -\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \end{align*} \right. ££

Loi normale (suite)

££\E[X] = \mu \, , \quad \mbox{Var}(X) = \sigma^2££ (Changements de variables : cf. poly)

Remarque : les calculs pratiques nécessitent des tables

Rappel

La fonction Gamma est définie sur £[1, +\infty[£ par ££\Gamma : z \mapsto \int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt££

C'est un prolongement de la factorielle. On a par exemple les relations ££\forall n \in \N, \, \Gamma(n + 1) = n! \mbox{ et } \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}££

Voir par exemple la page Wikipedia

Loi Gamma

£X£ suit la loi Gamma de paramètre £(\alpha, \beta)£, notée £\Gamma(\alpha, \beta)£, si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \R^+\\ f_{\alpha, \beta}(t) &= t^{\alpha-1} \frac{\beta^{\alpha} e^{-\beta t}}{\Gamma(\alpha)} \end{align*} \right. ££

La loi Gamma généralise la loi exponentielle (obtenue pour £\alpha=1£).

££\E[X] = \frac{\alpha}{\beta} \, , \quad \mbox{Var}(X) = \frac{\alpha}{\beta^2}££

Illustration

Loi du £\chi^2£

£X£ suit la loi du £\chi^2£ ("khi-deux") à £k£ degré(s) de liberté si ££ \left\{ \begin{align*} X(\Omega) &= \R^+\\ f_k(t) &= \frac{1}{2^{k/2} \Gamma(k/2)} t^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{t}{2}} \end{align*} \right. ££

La loi du £\chi^2£ est très classique en statistiques. Le test du £\chi^2£ permet de savoir si un échantillon donné est en adéquation avec une loi de probabilité donnée.

££\E[X] = k \, , \quad \mbox{Var}(X) = 2k££

Exemples

Beaucoup d'autres lois...

• Loi de Zipf
• Loi binomiale négative
• Loi bêta
• Loi de Pareto
• Loi de Weibull
• Loi £t£ de Student
• ... etc

Et diverses lois multivariées...

Voir par exemple la page Wikipedia.

Convolution, loi d'une somme

Un problème courant consiste à trouver la loi de probabilité d'une somme de deux VA indépendantes : ££Z = X + Y££

Les méthodes de calcul font en général apparaître un produit de convolution

Cas discret

Théorème des probabilités totales : ££\begin{align*} \P(Z = z) &= \sum_{x, y \in X(\Omega) \times Y(\Omega)} \P(X+Y = z \cap X = x)\\ &= \sum_{x \in X(\Omega)} \P(X = x \cap Y = z - x)\\ &= \sum_{x \in X(\Omega)} \P(X = x) \times \P(Y = z-x) \mbox{ si indépendance } \end{align*} ££

Remarque : certains termes peuvent être nuls. £x£ (resp. £y£) ne prend pas nécessairement toutes les valeurs possibles de £X£ (resp. £Y£), mais uniquement celles compatibles avec l'évènement £Z = z£.

Propositions

Exercices ou cf. poly de cours

Cas continu

Rappel : sous réserve de convergence, on définit le produit de convolution ££(f * g)(x) = \int_{\R} f(x-y) g(y) dy££

Remarque : traduction "continue" de la formule discrète

Propositions

Exercices ou cf. poly de cours