| Contenu | Modalités | Commentaires | Exos WIMS |
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PourcentagesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| On s'appuiera essentiellement sur des données socio-économiques, historiques et géographiques pour réinvestir toutes les connaissances antérieures relatives aux pourcentages ; on étudiera des exemples présentés sous diverses formes (tableaux à double entrée, graphiques,...). | Aucune connaissance technique proprement nouvelle n'est au programme de première ; ce sujet donnera lieu, régulièrement durant l'année, à des activités dans le double objectif suivant : entraîner à une pratique aisée de techniques élémentaires de calcul, amener à une attitude critique vis à vis des informations chiffrées. | ||
| Expression en pourcentage d'une augmentation ou d'une baisse. Augmentations et baisses successives. Variations d'un pourcentage. | L'élève doit savoir passer de la formulation additive ("augmenter de 5%") à la formulation multiplicative ("multiplier par 1,05"). On formulera aussi ces variations en termes d'indices (comparaison à la valeur prise une année donnée choisie comme base 100). | On pourra relever certains pièges classiques de la formulation additive ("pour compenser une hausse de 10%, suffit-il d'appliquer une baisse de 10% ?"). | |
| Pourcentages de pourcentages. Addition et comparaison de pourcentages. | On distinguera les pourcentages décrivant le rapport d'une partie au tout des pourcentages d'évolution (augmentation ou baisse). | Il s'agit en particulier de s'attacher à dégager les différentes interprétations possibles de l'augmentation ou de la diminution d'un pourcentage. | |
StatistiqueTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
Etude de séries de données :
| On s'intéressera en particulier aux séries chronologiques. On effectuera à l'aide d'un tableur le lissage par moyennes mobiles et on observera directement son effet sur la courbe représentant la série. Les histogrammes à pas non constants ne seront pas développés pour eux mêmes mais le regroupement en classes inégales s'imposera lors de l'étude d'exemples comme des pyramides des âges ou de salaires. On apprendra à interpréter diverses formes de diagrammes en boîtes à partir d'exemples. En liaison avec le paragraphe "probabilité", on étudiera plusieurs séries obtenues par simulation d'un modèle ; on comparera les diagrammes en boîte. L'utilisation d'un logiciel informatique est indispensable pour accéder à une simulation sur un nombre important d'expériences. | Sans développer de technicité particulière à propos des histogrammes à pas non constants, on montrera l'intérêt d'une représentation pour laquelle l'aire est proportionnelle à l'effectif. | |
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| Effet de structure lors du calcul de moyennes. | On observera dynamiquement et en temps réel, les effets des modifications des données. | ||
| Mesures de dispersion : intervalle interquartile, écart-type. | L'objectif est de résumer une série par un couple (mesure de tendance centrale ; mesure de dispersion). Deux choix usuels sont couramment proposés : le couple (médiane ; intervalle interquartile), robuste par rapport aux valeurs extrêmes de la série, et le couple (moyenne ; écart-type). On démontrera que la moyenne est le réel qui minimise sum (x_i- x)^2), alors qu'elle ne minimise pas sum|x_i -x | On notera s l'écart-type d'une série, plutôt que sigma, réservé à l'écart-type d'une loi de probabilité. | ||
| Tableau à double entrée : étude fréquentielle ; lien entre arbre et tableau à double entrée ; notion de fréquence de A sachant B. | La fréquence de A sachant B sera notée f_B(A) ; elle prépare à la notion de probabilité conditionnelle qui sera traitée en terminale. | ||
ProbabilitésTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Définition d'une loi de probabilité sur un ensemble fini. Probabilité d'un événement, de la réunion et de l'intersection d'événements. Modélisation d'expériences de référence menant à l'équiprobabilité ; utilisation de modèles définis à partir de fréquences observées. | Le lien entre loi de probabilité et distribution de fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. | Un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres peut être par exemple : Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences obtenues sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. | |
| On mènera de pair simulation et étude théorique de la somme de deux dés (en liaison avec le paragraphe précédent). | On indiquera que simuler une expérience consiste à simuler un modèle de cette expérience. On pourra ne pas se limiter à l'étude d'une seule situation et envisager d'autres expériences (produit de deux dés, somme de trois dés...). On pourra repérer les difficultés soulevées par le choix d'un modèle mais sans s'y attarder : on utilisera directement des modèles que la statistique a permis de choisir. | ||
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AlgèbreTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Exemples de systèmes d'équations linéaires à deux ou trois inconnues ; d'inéquations linéaires à deux inconnues. | On étudiera quelques exemples simples de problèmes de programmation linéaire. | On consolidera l'interprétation géométrique des systèmes linéaires à deux inconnues ; cela amènera à reconnaître directement l'équation ux+vy+w=0 (avec (u,v) différent de (0;0)) comme équation de droite. | |
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| Résolution d'équations et d'inéquations du 2nd degré. | On fera le lien avec la représentation graphique de la fonction x -> ax^2+bx+c. | On évitera l'application systématique de formules générales utilisant le discriminant, lorsque une solution plus simple est immédiate. |
Factorisation des polynômes de degré 2 Inéquations et second degré Intersection 1 Intersection 2 Racines d'un polynôme du second degré v2 Choix quadratique reconnaître le graphe d'un polynôme quadratique. Tabsign comprendre les tableaux de signe. |
SuitesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Modes de génération de suites numériques. Suites croissantes, suites décroissantes.Suites arithmétiques ; suites géométriques de raison positive ; somme des n premiers termes. | Exemples de l'utilisation de suites numériques pour décrire des situations simples .Sur tableur ou calculatrice, calcul des termes d'une suite suivant différents modes de génération et observation comparée des croissances de suites arithmétiques ou géométriques. | De nombreux phénomènes économiques, notamment chronologiques peuvent être décrits avec une suite : on se limitera à l'étude durant un temps fini. On parlera de croissance exponentielle pour des suites géométriques à termes positifs, de raison supérieure à 1. | |
Généralités sur les fonctionsTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Représentation graphique de la fonction x -> u(x+k) et des fonctions u+k, u+v, u-v, ku, |u|, où u et v sont des fonctions connues et k une constante. Sens de variation dans des cas simples | On partira des fonctions étudiées en classe de seconde. On privilégiera les représentations graphiques faites à l'aide d'un grapheur (calculatrice graphique ou ordinateur). On montrera en particulier que si u et v sont monotones de même sens, alors u+v l'est aussi. | On se restreindra à des cas simples. L'objectif essentiel est la compréhension du sens des opérations élémentaires sur des fonctions : on pourra traiter un ou deux exemples à la main, mais aucune technicité n'est à rechercher ici ; un grapheur permettra avantageusement de varier les situations. On abordera à cette occasion les propriétés relatives à la somme membre à membre de deux inégalités |
Addition graphique reconnaître le graphe de f+g à partir de ceux de f et g, etc. Fonctions graphiques reconnaître le graphe de f(-x) à partir de celui de f(x), etc. Abs graphique reconnaître le graphe de f(|x|) à partir de celui de f, etc. Multiplication graphique reconnaître le graphe de fg à partir de ceux de f et g, etc. |
| Mise en évidence de la composée de fonctions dans des expressions simples. | On reviendra à cette occasion sur le sens des écritures algébriques. Dans des cas simples où n'interviennent que des fonctions monotones, on déduira le sens de variation. | La "composée" de fonctions sera ici introduite naturellement, sans qu'il soit indispensable d'utiliser la notation uov. | |
DérivationTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d'une fonction en un point. Nombre dérivé d'une fonction en un point : définition comme limite de (f(a+h) - f(a))/h quand h tend vers 0. | Plusieurs démarches sont possibles : passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps) ; zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à l'écran de la calculatrice. | On ne donnera pas de définition formelle de la notion de limite. Le vocabulaire et la notation relatifs aux limites seront introduits à l'occasion de ce travail sur la notion de dérivée ; on s'en tiendra à une approche sur des exemples et à une utilisation intuitive. | |
| Fonction dérivée. Tangente à la courbe représentative d'une fonction f dérivable. | On reliera coût marginal et dérivée en un point. | Aucun développement n'est demandé sur ce sujet. | |
| Fonction dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient, de x -> x^n, de x ->sqrt(x) . | |||
| Lien entre dérivée et sens de variation. | étudiera, sur quelques exemples, les variations de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles très simples. | On justifiera que la dérivée d'une fonction monotone sur un intervalle est de signe constant et on admettra la réciproque. | |
| Application à l'approximation de pourcentages. | On montrera que, pour un taux x faible, n hausses successives de x% équivalent pratiquement à une hausse de nx%. On illustrera ceci à l'aide de la représentation graphique de la fonction x a (1+x)n (pour n = 2 ou n = 3) et de sa tangente pour x = 0. | ||
Comportements asymptotiquesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Comportement des fonctions de référence à l'infini (x -> x^2, x -> x^3, x -> sqrt(x) , x -> 1/x, x -> 1/x2) ; en zéro (x -> 1/x, x -> 1/x^2). | Ce travail sera illustré à l'aide des outils graphiques. | On s'appuiera sur l'intuition ; les résultats usuels sur les sommes et produits de limites apparaîtront à travers des exemples et seront ensuite énoncés clairement. | |
| Asymptote horizontale, verticale ou oblique. Asymptote horizontale, verticale ou oblique. | On s'intéressera à des fonctions mises sous la forme f(x)=ax+b+e(x), la fonction e tendant vers 0 en +infini ou en -infini . | ||
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Complément sur les fonctionsTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Fonctions affines par morceaux. | Exemples simples d'interpolation linéaire. | ||
Géométrie dans l'espaceTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Calcul vectoriel. Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires. Repérage: coordonnées d'un point, d'un vecteur. Distance entre deux points ; condition analytique d'orthogonalité entre deux vecteurs | On étendra à l'espace les opérations sur les vecteurs du plan. On pourra n'utiliser que des repères orthogonaux. Les élèves devront savoir lire et représenter un nuage de points en trois dimensions à l'aide d'un logiciel adapté. | Une exploration intuitive de l'espace a déjà été menée les années antérieures. L'objectif prioritaire est ici le travail sur les coordonnées : par le simple ajout d'une coordonnée, on étend le calcul vectoriel de la dimension deux à la dimension trois. A contrario, on pourra revenir à la géométrie plane en annulant la troisième coordonnée. | |
| Equation cartésienne d'un plan. Equations cartésiennes d'une droite. | On pourra d'abord établir l'équation d'un plan parallèle à un plan de coordonnées, celle d'un plan parallèle à un axe du repère, puis passer au cas général. On pourra admettre que, pour (a,b,c)différent de (0,0,0), ax + by + cz + d = 0 est l'équation d'un plan. | On pourra interpréter des exercices de programmation linéaire, dans lesquels interviennent des fonctions de coût du type z = ax + by + c. | |
| Sur des exemples simples de fonctions de deux variables, représentation et lectures de courbes de niveau. | On visualisera les situations dans l'espace à l'aide de logiciels ; ceux-ci mettront en évidence les surfaces représentant ces fonctions et les courbes de niveau apparaîtront comme des sections de ces surfaces par des plans horizontaux. | Aucune étude théorique de ces surfaces n'est demandée. | |
Calcul matricielTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Vecteurs-lignes ou colonnes, matrices : définition, dimension, opérations. | Vecteurs et matrices seront présentés comme des tableaux de nombres décrivant des situations simples ; les opérations seront introduites à la suite d'exemples leur donnant du sens et les justifiant. | On évitera ici tout formalisme et on privilégiera une présentation intuitive en réponse à des situations concrètes. Le calcul matriciel sera l'occasion de calculs numériques simples, ne pouvant aboutir que si l'on procède avec ordre et rigueur. | |
| Multiplication d'une matrice par un vecteur. | Les opérations seront d'abord réalisées à la main ; on évitera les complications artificielles et on en restera à des dimensions modestes (2, 3, 4 au plus). On posera la question de la recherche de l'inverse d'une matrice ; on cherchera à résoudre ce problème à la main, sur un ou deux exemples en dimension 2. | La notion de déterminant d'une matrice n'est pas au programme. On notera la linéarité sous-jacente à la multiplication d'une matrice A par un vecteur X ; on en donnera la signification à travers les exemples concrets étudiés. | |
| Application à la résolution de problèmes faisant intervenir un système linéaire d'équations. | On interprétera géométriquement les systèmes à 3 inconnues. On exploitera les possibilités offertes par les tableurs et calculatrices. | On reprendra en termes matriciels la résolution de systèmes au programme de la partie obligatoire. On ne résoudra à la main que des systèmes à 2 inconnues (exceptionnellement 3) ; on utilisera calculatrices et tableurs pour les dimensions supérieures. | |