| Contenu | Modalités | Commentaires | Exos WIMS |
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Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
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Sections planesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Sections planes d'un cube, d'un tétraédre. | Pour aborder ces problèmes, les élèves pourront s'aider de manipulations de solides et d'un logiciel de géométrie. | On utilisera les règles d'incidence vues en classe de 2nde pour justifier les constructions des différentes sections planes possibles. Ce travail, en consolidant la perception de l'espace, facilitera l'introduction du repérage cartésien. | |
RepérageTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Repérage polaire dans le plan et trigonométrie ; mesures des angles orientés, mesure principale, relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés. | Repérage polaire dans le plan et trigonométrie ; mesures des angles orientés, mesure principale, relation de Chasles, lignes trigonométriques des angles associés. Repérage cartésien dans l'espace. Distance entre deux points en repère orthonormal. Repérage d'abord d'un point du cercle trigonométrique, à l'aide d'un réel défini à un multiple près de 2pi ; lien entre repérage polaire et repérage cartésien. | C'est en "enroulant R" sur le cercle trigonométrique que les élèves ont construit en 2nde les représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus ; une première approche du radian et des angles orientés a alors été réalisée, s'appuyant sur la proportionnalité entre mesure de l'angle au centre et longueur de l'arc intercepté. On gardera ici cette vision dynamique de l'enroulement. | |
| Repérage cartésien dans l'espace. Distance entre deux points en repére orthonormal. | En particulier, équation de quelques objets de l'espace : plans paralléles aux plans de coordonnées ; sphère centrée à l'origine, cône de sommet l'origine et cylindre, chacun ayant pour axe un axe du repére. | Il s'agit ici de rendre familiers quelques objets usuels. | |
Géométrie vectorielleTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Calcul vectoriel dans l'espace. | On étendra à l'espace les opérations sur les vecteurs du plan. On introduira la notion de vecteurs coplanaires. | ||
| Barycentre de quelques points pondérés dans le plan et l'espace. Associativité du barycentre. | On utilisera la notion de barycentre pour établir des alignements de points, des points de concours de droites. | La notion de barycentre, utile en physique et en statistique, illustre l'efficacité du calcul vectoriel. On évitera toute technicité. On n'étendra pas le produit scalaire à l'espace. On pourra faire le lien avec le travail d'une force |
Construction d'un barycentre(3) Barycentre et coefficients Barycentre partiels et lecture graphique Barycentres et coordonnées Barycentres partiels et intersection Barycentre graphique |
| Produit scalaire dans le plan ; définition, propriétés. | Propriétés de bilinéarité, de symétrie et expression analytique dans un repére orthonormal. | ||
| Applications du produit scalaire : projeté orthogonal d'un vecteur sur un axe ; calculs de longueurs. | équation d'une droite à l'aide d'un vecteur normal, équation d'un cercle défini par son centre et son rayon ou par son diamétre. Calculs d'angles, de longueurs et d'aires sur des figures planes en liaison avec le produit scalaire ; on établira et utilisera la formule dite d'Al Kashi, le théoréme de la médiane et les formules d'addition et de duplication pour les fonctions cosinus et sinus. | Pour certains exercices, il pourra être utile de disposer des formules reliant les sinus des angles, les côtés et l'aire d'un triangle. | |
TransformationsTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Translations et homothéties dans le plan et l'espace : définitions ; image d'un couple depoints ; effet sur l'alignement, le barycentre, les angles orientés, les longueurs, les aires et les volumes ; image d'une figure (segment, droite, cercle). | Toutes les transformations connues seront utilisées dans l'étude des configurations, pour la détermination de lieux géométriques et dans la recherche de problémes de construction, en particulier au travers des logiciels de géométrie. | Les transformations planes abordées en collége (translation, symétrie axiale, rotation) n'ont pas à faire l'objet d'un chapitre particulier. | |
Lieux géométriques dans le plan.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux. | On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche (propriétés des configurations, vecteurs, produit scalaire, transformations, géométrie analytique). On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion. | La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant. Il s'agit de ne pas s'en tenir à une simple observation mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques. On s'appuiera, le cas échéant, sur le caractére bijectif des transformations ou sur une démarche d'analyse-synthèse. | |
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Généralités sur les fonctionsTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Opérations sur les fonctions: u + v, lambda u, uv, v, v ov . Définition d'une fonction polynôme et de son degré. | On partira des fonctions étudiées en classe de 2nde. Sur des exemples et selon le probléme traité, on proposera plusieurs écritures d'une même fonction trinôme, d'une même fonction homographique. | Les transformations d'écritures s'effectueront à l'occasion des différentes activités de ce chapitre (dérivation, recherche d'asymptotes, résolution d'équations). On remarquera que certaines familles de fonctions sont stables par certaines opérations, pas par d'autres. | |
| Sens de variation et représentation graphique d'une fonction de la forme u + l, lu, la fonction u étant connue. Sens de variation de v u o , u et v étant monotones. | On travaillera, à l'aide de grapheurs, sur des familles de courbes représentatives de fonctions associées à deux fonctions données u et v : u + l, l u, u + v, |u| , x ->u (l x) et x ->u (x+l) . | On remarquera à l'aide de contre-exemples qu'on ne peut pas énoncer de régle donnant dans tous les cas le sens de variation de u + v ou de u v. On justifiera les symétries observées sur les représentations graphiques. |
Addition graphique reconnaître le graphe de f+g à partir de ceux de f et g, etc. Fonctions graphiques reconnaître le graphe de f(-x) à partir de celui de f(x), etc. Abs graphique reconnaître le graphe de f(|x|) à partir de celui de f, etc. Multiplication graphique reconnaître le graphe de fg à partir de ceux de f et g, etc. |
| Résolution de l'équation du second degré. Etude du signe d'un trinôme. | On aboutira ici aux formules usuelles donnant les racines et la forme factorisée d'un trinôme du second degré. | On fera le lien entre les résultats et l'observation des représentations graphiques obtenues à l'aide d'un grapheur. | Factorisation des polynômes de degré 2 Inéquations et second degré Intersection 1 Intersection 2 Racines d'un polynôme du second degré v2 Choix quadratique reconnaître le graphe d'un polynôme quadratique. Tabsign comprendre les tableaux de signe. |
DérivationTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Approche cinématique ou graphique du concept de nombre dérivé d'une fonction en un point. | Plusieurs démarches sont possibles : passage de la vitesse moyenne à la vitesse instantanée pour des mouvements rectilignes suivant des lois horaires élémentaires (trinôme du second degré dans un premier temps) ; zooms successifs sur une représentation graphique obtenue à l'écran de la calculatrice. | On ne donnera pas de définition formelle de la notion de limite. Le vocabulaire et la notation relatifs aux limites seront introduits sur des exemples puis utilisés de façon intuitive. | |
| Nombre dérivé d'une fonction en un point : définition comme limite de (f(a+h) - f(a))/h quand h tend vers 0. Fonction dérivée. | Dans les cas usuels, la limite de (f(a+h) - f(a))/h s'obtient, après transformation d'écriture, en invoquant des arguments trés proches de l'intuition. On ne soulèvera aucune difficulté à leur propos et on admettra tous les résultats utiles. | ||
| Tangente à la courbe représentative d'une fonction f dérivable ; approximation affine associée de la fonction. | On construira point par point un ou deux exemples d'approximation de courbe intégrale définie par : y' =f(t) et y(t_0) = y_0 en utilisant l'approximation Df =f'(a) Dt. dérivée. On pourra observer sur grapheur ou tableur l'erreur commise dans le cas où on connaît une expression de la fonction y. | La notion de développement limité à l'ordre 1 n'est pas au programme. On pourra cependant évoquer le caractére optimal de l'approximation affine liée à la dérivée. | |
| Dérivée des fonctions usuelles : x->x^n, x->sqrt[n] (x), x->cos(x), x->sin(x). Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et de x->f(ax+b). | On justifiera le résultat donnant la dérivée de u v et 1/u. | On pourra admettre les dérivées des fonctions sinus et cosinus. | |
| Lien entre signe de la dérivée et variations. | On étudiera, sur quelques exemples, le sens de variation de fonctions polynômes de degré 2 ou 3, de fonctions homographiques ou de fonctions rationnelles trés simples. On introduira les notions et le vocabulaire usuels (extremum, majorant, minorant) et, de l'étude du sens de variations, on déduira des encadrements d'une fonction sur un intervalle. | On justifiera que la dérivée d'une fonction monotone sur un intervalle est de signe constant ; on admettra la réciproque. L'étude de fonctions ne sera pas présentée comme une fin en soi, mais interviendra lors de la résolution de problèmes. | |
Comportement asymptotique de certaines fonctionsTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Asymptotes verticales, horizontales ou obliques. | On étudiera, sur des exemples trés simples (fonctions polynômes de degré 2 ou 3, fonctions rationnelles du type x->ax+b+h(x) avec h tendant vers 0 en +infini ou -infini), les limites aux bornes de l'intervalle de définition et les asymptotes éventuelles. | On s'appuiera sur l'intuition ; les résultats usuels sur les sommes et produits de limites apparaîtront à travers des exemples et seront ensuite énoncés clairement. | |
SuitesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Modes de générations d'une suite numérique. Suite croissante, suite décroissante. | Etude de l'évolution de phénoménes discrets amenant à une relation de récurrence. | ||
| Suites arithmétiques et suites géométriques. | Calcul des termes d'une suite sur calculatrice ou tableur ; observation des vitesses de croissance (resp. de décroissance) pour des suites arithmétiques et des suites géométriques. Comparaison des valeurs des premiers termes des suites (1 + t)^n et 1 + nt pour différentes valeurs de t (en lien avec la notion de dérivée). On pourra étudier numériquement, sur ordinateur ou calculatrice, le temps de doublement d'un capital placé à taux d'intérêt constant, la période de désintégration d'une substance radioactive, etc. On veillera à faire réaliser sur calculatrice des programmes où interviennent boucle et test. | ||
| Notion intuitive de limite infinie perçue à partir d'exemples. | |||
| Définition de la convergence d'une suite, utilisation de cette définition. | On utilisera au choix une des définitions suivantes pour la convergence d'une suite vers a : Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini d'entre eux. Tout intervalle ouvert contenant a contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Démonstration du théorème "des gendarmes" ; les théorèmes sur la somme, le produit et le quotient de suites convergentes seront pour la plupart admis. On pourra mettre la définition en oeuvre pour étudier une limite (exemple : suite (wn) définie par wn=max(un,vn)) ou pour montrer l'unicité de la limite. On montrera avec des exemples la variété de comportement de suites convergeant vers une même limite. | travail demandé ici à propos de la définition de la convergence est de nature épistémologique ; il sera présenté aux élèves comme tel et pourra permettre d'amorcer une réflexion, poursuivie en Terminale, sur la nature des mathématiques. Toute définition en e et N est exclue. On indiquera clairement qu'une fois la définition posée et les théorèmes établis, il est en général plus facile d'avoir recours aux théorèmes (ils sont là pour ça) plutôt qu'à la définition, sauf pour les contre-exemples. La définition d'une limite infinie pourra être abordée ou non. | |
| Limite d'une suite géométrique. | |||
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StatistiqueTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Variance et écart-type. Diagramme en boîte ; intervalle inter-quartile. Influence sur l'écart-type et l'intervalle inter-quartile d'une transformation affine des données. | On cherchera des résumés pertinents et on commentera les diagrammes en boîtes de quantités numériques associées à des séries simulées ou non . On observera l'influence des valeurs extrêmes d'une série sur l'écart-type ainsi que la fluctuation de l'écart-type entre séries de même taille. L'usage d'un tableur ou d'une calculatrice permettent d'observer dynamiquement et en temps réel, les effets des modifications des données. | L'objectif est de résumer une série par un couple (mesure de tendance centrale ; mesure de dispersion). Deux choix usuels sont couramment proposés : le couple (médiane ; intervalle interquartile), robuste par rapport aux valeurs extrêmes de la série, et le couple (moyenne ; écart-type). On démontrera que la moyenne est le réel qui minimise sum (x-x_i)^2, alors qu'elle ne minimise pas sum |x-x_i| . On notera s l'écart-type d'une série, plutôt que sigma, réservé à l'écart-type d'une loi de probabilité. | |
ProbabilitésTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Définition d'une loi de probabilité sur un ensemble fini. Espérance, variance, écart-type d'une loi de probabilité. Probabilité d'un événement, de la réunion et de l'intersection d'événements. Cas de l'équiprobabilité. Variable aléatoire, loi d'une variable aléatoire, espérance, variance, écart-type. Modélisation d'expériences aléatoires de référence (lancers d'un ou plusieurs dés ou pièces discernables ou non, tirage au hasard dans une urne, choix de chiffres au hasard, etc.). | Le lien entre loi de probabilité et distributions de fréquences sera éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres. On expliquera ainsi la convergence des moyennes vers l'espérance et des variances empiriques vers les variances théoriques ; on illustrera ceci par des simulations dans des cas simples. On pourra aussi illustrer cette loi avec les diagrammes en boîtes obtenus en simulant par exemple 100 sondages de taille n, pour n = 10 ; 100 ; 1000. On simulera des lois de probabilités simples obtenues comme images d'une loi équirépartie par une variable aléatoire (sondage, somme des faces de deux dés, etc). | On pourra par exemple choisir comme énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres la proposition suivante : Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. On indiquera que simuler une expérience consiste à simuler un modèle de cette expérience. La modélisation avec des lois ne découlant pas d'une loi équirépartie est hors programme. On évitera le calcul systématique et sans but précis de l'espérance et de la variance de lois de probabilité. | |