| Contenu | Modalités | Commentaires | Exos WIMS |
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Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
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| Résumé numérique par une ou plusieurs mesures de tendance centrale (moyenne, médiane, classe modale, moyenne élaguée) et une mesure de dispersion (on se restreindra en classe de seconde à l'étendue). | Utiliser les propriétés de linéarité de la moyenne d'une série statistique. Calculer la moyenne d'une série à partir des moyennes de sous-groupes. Calcul de la moyenne à partir de la distribution des fréquences. Concevoir et mettre en oeuvre des simulations simples à partir d'échantillons de chiffres au hasard. | L'objectif est de faire réfléchir les élèves sur la nature des données traitées, et de s'appuyer sur des représentations graphiques pour justifier un choix de résumé. On peut commencer à utiliser le symbole. On commentera quelques cas où la médiane et la moyenne diffèrent sensiblement. On remarquera que la médiane d'une série ne peut se déduire de la médiane de sous-séries. Le calcul de la médiane nécessite de trier les données, ce qui pose des problèmes de nature algorithmique. La touche " random " d'une calculatrice pourra être présentée comme une procédure qui, chaque fois qu'on l'actionne, fournit une liste de n chiffres (composant la partie décimale du nombre affiché). Si on appelle la procédure un très grand nombre de fois, la suite produite sera sans ordre ni périodicité et les fréquences des dix chiffres seront sensiblement égales. Chaque élève produira des simulations de taille n (n allant de 10 à 100 suivant les cas) à partir de sa calculatrice ; ces simulations pourront être regroupées en une simulation ou plusieurs simulations de taille N, après avoir constaté la variabilité des résultats de chacune d'elles. L'enseignant donnera alors éventuellement les résultats de simulations de même taille N préparées à l'avance et obtenues à partir de simulations sur ordinateurs. | Module de statistiques de révision:
Statistiques Moyenne Moyennes et coefficients Effectifs et pourcentages Moyenne statistique Moyenne pondérée Angle et pourcentages Diagramme circulaire et pourcentages Statistique et pourcentages Répartition et fréquences Répartition et regroupement Séries statistiques : taille |
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| Nature et écriture des nombres. Notations (N, Z, D, Q, R). Représentation des nombres dans une calculatrice. Nombres premiers. | Distinguer un nombre d'une de ses valeurs approchées. Interpréter un résultat donné par une calculatrice. Organiser un calcul à la main ou à la machine. Décomposer un entier en produit de nombres premiers. | On admettra que l'ensemble des réels est l'ensemble des abscisses des points d'une droite. On travaillera sur les ordres de grandeur. On donnera un ou deux exemples de limites d'utilisation d'une calculatrice. On fera quelques manipulations de nombres en écriture scientifique. On se limitera à des exemples (du type 56 x 67) pour lesquels la connaissance des tables de multiplication suffit. | |
| Ordre des nombres. Valeur absolue d'un nombre. | Choisir un critère adapté pour comparer des nombres. Comparer a, a^2 et a^3 lorsque a est positif. Caractériser les éléments d'un intervalle et le représenter. | La valeur absolue d'un nombre permet de parler facilement de la distance entre deux nombres. | |
| Fonctions. | Identifier la variable et son ensemble de définition pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule. Déterminer, dans chacun des cas, l'image d'un nombre. | On étudiera des situations issues, entre autres, de la géométrie, de la physique, de l'actualité ou de problèmes historiques. On réfléchira sur les expressions être fonction de et dépendre de dans le langage courant et en mathématiques. On donnera des exemples de dépendance non fonctionnelle (poids et taille, note au bac et moyenne de l'année). Les fonctions abordées ici sont généralement des " fonctions numériques d'une variable réelle " pour lesquelles l'ensemble de définition est donné. On pourra voir quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou même de fonctions à deux variables (aire en fonction des dimensions). L'utilisation de calculatrice ou d'ordinateur amènera à considérer une fonction comme un dispositif capable de produire une valeur numérique quand on introduit un nombre (c'est-à-dire comme une " boîte noire "). Les notations f(x), déjà introduite au collège, et f seront systématiquement utilisées. Il importe d'être progressif dans l'utilisation de ces écritures : le passage du nombre f(x) à l'objet mathématique " fonction " noté f est difficile et demande un temps de maturation individuelle qui peut dépasser la classe de seconde. | |
| Étude qualitative de fonctions. fonction croissante, fonction décroissante ; maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle. | Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d'une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variation. | S'il s'agit des courbes, on distinguera celles pour lesquelles, par convention, l'information sur les variations est exhaustive, de celles obtenues sur un écran graphique. La perception sur un graphique de symétries ou de périodicité pourra conduire à une formulation analytique de ces propriétés. On soulignera le fait qu'une fonction croissante conserve l'ordre, tandis qu'une fonction décroissante renverse l'ordre ; une définition formelle est ici attendue. | Tableaux de variations :
Croissance Valeurs Positivité |
| Premières fonctions de références. | Établir le sens de variation et représenter graphiquement les fonctions x->x^2, x->1/x. Connaître la représentation graphique de x->cos(x) et de x->sin(x) | D'autres fonctions telles que ... pourront être découvertes à l'occasion de problèmes. Les résultats les concernant pourront être admis. Les positions relatives des diverses courbes ainsi découvertes seront observées et admises. La définition de sin x et cos x pour un réel x quelconque se fera en " enroulant " sur le cercle trigonométrique. On fera le lien avec les sinus et cosinus de 30^0, 45^0 et 60^0. | |
| Fonctions linéaires et fonctions affines. | Caractériser les fonctions affines par le fait que l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable. | Exemples de non-linéarité. En particulier, on fera remarquer que les fonctions carré, inverse... ne sont pas linéaires. | |
| Fonctions et formules algébriques. | Reconnaître la forme d'une expression algébrique (somme, produit, carré, différence de deux carrés). Identifier l'enchaînement des fonctions conduisant de x à f(x) quand f est donnée par une formule. Reconnaître différentes écritures d'une même expression et choisir la forme la plus adaptée au travail demandé (forme réduite, factorisée, ...) Modifier une expression, la développer, la réduire selon l'objectif poursuivi. | Les activités de calcul doivent être l'occasion de raisonner et de démontrer. On évitera une activité trop mécanique et on s'efforcera de développer, avec des expressions littérales faisant intervenir une seule lettre, deux plus rarement, des stratégies s'appuyant sur l'observation, l'anticipation et l'intelligence du calcul. On multipliera les approches et on explicitera quelques procédures simples permettant d'infirmer ou de confirmer une formule. A l'occasion de certains travaux sur tableur, on distinguera la recherche et l'observation d'une loi empirique de la démonstration d'une formule. Des activités liées aux fonctions, aux équations ou aux inéquations mettront en valeur l'information donnée par la forme d'une expression et motiveront la recherche d'une écriture adaptée. | |
| Mise en équation ; résolution algébrique, résolution graphique d'équations et d'inéquations. | Résoudre une équation ou une inéquation se ramenant au premier degré. Utiliser un tableau de signes pour résoudre une inéquation ou déterminer le signe d'une fonction. Résoudre graphiquement des équations ou inéquations du type : f(x) = k ; f(x) < k; f(x) = g(x) ; f(x) < g(x)... | Pour un même problème, on combinera les apports des modes de résolution graphique et algébrique. On précisera les avantages et les limites de ces différents modes de résolution. On pourra utiliser les graphiques des fonctions de référence et leurs positions relatives. On ne s'interdira pas de donner un ou deux exemples de problème conduisant à une équation qu'on ne sait pas résoudre algébriquement et dont on cherchera des solutions approchées. |
Tabsign comprendre les tableaux de signe. |
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| Géométrie dans l'espace. Positions relatives de droites et plans : règles d'incidence. Orthogonalité d'une droite et d'un plan. | Manipuler, construire, représenter des solides. Effectuer des calculs simples de longueur, aire ou volume. Connaître les positions relatives de droites et plans de l'espace. | On mettra en oeuvre les capacités attendues sur un ou deux exemples : construction d'un patron, représentation en perspective cavalière, dessin avec un logiciel de construction géométrique, calcul de longueurs, d'aires ou de volumes. | |
| Les configurations du plan. | Utiliser, pour résoudre des problèmes, les configurations et les transformations étudiées en collège, en argumentant à l'aide de propriétés identifiées. | On mettra en oeuvre les capacités attendues sur un ou deux exemples : construction d'un patron, représentation en perspective cavalière, dessin avec un logiciel de construction géométrique, calcul de longueurs, d'aires ou de volumes. | |
| Triangles isométriques, triangles de même forme. | Reconnaître des triangles isométriques. Reconnaître des triangles de même forme. Résoudre des problèmes mettant en jeu formes et aires. | Les problèmes seront choisis de façon
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| Repérage dans le plan | Repérer des points d'un plan, des cases d'un réseau carré ou rectangulaire ; interpréter les cartes et les plans. | On pourra réfléchir aux avantages des divers types de repérage. On fera le lien avec le repérage des cellules d'un tableur. On évoquera, en comparant les repérages sur la droite, dans le plan (voire sur la sphère ou dans l'espace), la notion de dimension. | |
| Les vecteurs du plan. Multiplication d'un vecteur par un réel. Équations de droites. | Un repère étant fixé, exprimer la colinéarité de deux vecteurs ou l'alignement de trois points. Caractériser analytiquement une droite. Reconnaître que deux droites sont parallèles. | On pourra réfléchir aux avantages des divers types de repérage. On fera le lien avec le repérage des cellules d'un tableur. On évoquera, en comparant les repérages sur la droite, dans le plan (voire sur la sphère ou dans l'espace), la notion de dimension. On n'utilisera le calcul vectoriel que pour faciliter le repérage des points, justifier le calcul de coordonnées et caractériser des alignements. |
Distance point-droite I Distance point-droite II Droite sur point I Droite sur point II Parallèle I Parallèle II Paramétrée à l'équation Perpendiculaire I Perpendiculaire II 2 points Point sur droite I Point sur droite II Point et pente Alignement Calcul de déterminant Centre de gravité Intersection de deux droites Parallélogramme Coordonnées d'un vecteur dans le plan Point défini par une égalité vectorielle Symétrie centrale |
| Système d'équations linéaires. | Déterminer le nombre de solutions d'un système de deux équations à deux inconnues. Résoudre des problèmes conduisant à de tels systèmes. | On démontrera que toute droite a une équation soit de la forme y = mx + p , soit de la forme x = c. | |
| Thèmes d'étude | |||