| Contenu | Modalités | Commentaires | Exos WIMS |
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Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
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Géométrie dans l'espaceTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Sphère | Savoir que la section d'une sphère par un plan est un cercle. Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère. Représenter une sphère et certains de ses grands cercles. | On mettra en évidence les grands cercles de la sphère, les couples de points diamétralement opposés. On examinera le cas particulier où le plan est tangent à la sphère. On fera le rapprochement avec les connaissances que les élèves ont déjà de la sphère terrestre, notamment pour les questions relatives aux méridiens et parallèles. | |
| Problèmes de sections planes de solides. | Connaître la nature des sections du cube, du parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face, à une arrête. Connaître la nature des sections du cylindre de révolution par un plan parallèle ou perpendiculaire à son axe. Représenter et déterminer les sections d'un cône de révolution et d'une pyramide par un plan parallèle à la base. | Des manipulations préalables ( sections de solides en polystyrène par exemple) permettent de conjecturer ou d'illustrer la nature des sections planes étudiées. Ce sera une occasion de faire des calculs de longueur et d'utiliser les propriétés rencontrées dans d'autres rubriques ou les années antérieures. A propos de pyramides, les activités se limiteront à celles dont la hauteur est une arrête latérale et aux pyramides régulières qui permettent de retrouver les polygones étudiés par ailleurs. |
Sections agredaire agredlong agredvol sect-pyra sect-pyra2 sect-pyra-fnct-lin sect-pyra-fnct-lin2 quizz sect-cube1 sect-cube2 sect-cone sect-pave1 sect-pave2 |
Triangle rectangle :Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| relations trigonométriques, | Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle des relations entre le
cosinus, le sinus ou la tangente d'un
angle aigu et les longueurs de deux
côtés du triangle.
Utiliser la calculatrice pour
déterminer des valeurs approchées :
| La définition du cosinus a été vue en 4ème . Le sinus et la tangente d'un angle aigu seront introduits comme rapports de longueurs ou à l'aide du quart de cercle trigonométrique. On établira les formules : sin^2 x+ cos ^2 x =1 et tan x=sin x/cos x On n'utilisera pas d'autre unité que le degré décimal. |
Cosinus Hauteur d'un arbre Sinus Tangente Échelle |
| Distance de deux points dans un repère orthonormé du plan | Le plan étant muni d'un repère orthonormé, calculer la distance de deux points dont on connaît les coordonnées. | Le calcul de la distance de deux points se fera en référence au théorème de Pythagore, de façon à visualiser ce que représentent la différence des abscisses et la différence des ordonnées. | |
Propriété de Thalès.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
Connaître et utiliser dans une
situation donnée les deux
théorèmes suivants :
| Il s'agit d'un prolongement de l'étude faite en classe de 4ème. L'étude de la propriété de Thalès est l'occasion de traiter des situations de proportionnalité dans le cadre géométrique du plan et de l'espace. La réciproque est formulée en tenant compte de l'ordre relatif des points sur chaque droite. L'utilisation d'un logiciel de construction géométrique pour permettre de créer des situations reliées au Théorème de Thalès, notamment lors des activités d'approche de la propriété par la mise en évidence de la conservation des rapports. Le travail de construction de points définis par des rapports de longueurs permet de mettre en évidence l'importance de la position relative de ces points sur la droite. On s'intéressera particulièrement au problème suivant ; étant donnés deux points A et B, construire le point C de la droite (AB) sachant que le rapport CA/CB a une valeur donnée sous forme de quotient d'entiers. |
Noeud papillon Noeud papillon II Thalès et cercle circonscrit Thalès et triangle isocèle Triangle et droites parallèles | |
Vecteurs et translations.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Egalité vectorielle | Connaître et utiliser l'écriture vectorielle : \vec{AB} =\vec{CD} pour exprimer que la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D. | Cette rubrique prend en compte les acquis du cycle central sur le parallélogramme et sur la translation. Elle est orientée vers la reconnaissance, dans les couples (A,A'), (B,B'), (C,C').. de points homologues par une même translation, d'un même objet nommé vecteur. | |
| Lier cette écriture vectorielle au parallélogramme ABCD éventuellement aplati. | On écrira : \vec{u}=\vec{AA'}=\vec{BB'}=\vec{CC'}=... L'un des objectifs est que les élèves se représentent un vecteur à partir d'une direction, d'un sens et d'une longueur. On mettra en évidence la caractérisation d'une égalité vectorielle \vec{AB} =\vec{CD} à l'aide de milieux de [AD] et de [BC]. Si \vec{AB} = \vec{CD} , alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. Alors \vec{AB} =\vec{CD} | ||
| Composée de deux translations ; somme de deux vecteurs. | Utiliser l'égalité \vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC} et la relier à la composée de deux translations. Construire un représentant du vecteur somme à l'aide d'un parallélogramme. | Des activités de construction conduiront à l'idée que la composée de deux translations est une translation. A partir de ce résultat, à établir ou à admettre, on définira la somme de deux vecteurs. On introduira le vecteur nul ... \vec{0} =\vec{BB} =\vec{AA} ainsi que l'opposé d'un vecteur. Aucune compétence n'est exigible des élèves sur l'égalité vectorielle \vec{AC }-\vec{AB}=\vec{BC} ni, plus généralement, sur la soustraction vectorielle. | |
| Coordonnées d'un vecteur dans le plan muni d'un repère. | Lire sur un graphique les coordonnées d'un vecteur. Représenter, dans le plan muni d'un repère, un vecteur dont on donne les coordonnées. Calculer les coordonnées d'un vecteur connaissant les coordonnées des extrémités de l'un quelconque de ses représentants. Calculer les coordonnées du milieu d'un segment. | Les coordonnées d'un vecteur seront introduites à partir de la composition de deux translations selon les axes. | |
| Composition de deux symétries centrales | Savoir que l'image d'une figure par deux symétries centrales successives de centres différents est aussi l'image de cette figure par une translation. | Des activités de construction permettront de conjecturer le résultat de composition de deux symétries centrales. La démonstration sera l'occasion de revoir la configuration des milieux d'un triangle. | |
| Connaître le vecteur de la translation composée de deux symétries centrales. | On pourra utiliser, pour sa commodité, la notation 2\vec{AB} pour désigner \vec{AB}+\vec{AB}. Tout commentaire sur le produit d'un vecteur par un entier est hors programme, ainsi que la notation o pour désigner la composée. | ||
Rotation, angles, polygones réguliersTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Images de figures par une rotation | Construire l'image par une rotation donnée d'un point, d'un cercle, d'une droite, d'un segment et d'une demi-droite. | ||
| Polygones réguliers | Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet. | Les activités porteront d'abord sur un travail expérimental permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures à partir desquelles seront dégagées des propriétés d'une rotation (conservation des longueurs, des alignements, des angles, des aires). Ces propriétés pourront être utilisées dans la résolution d'exercices simples de construction. Dans des pavages, on rencontrera des figures invariantes par rotation. Les configurations rencontrées permettent d'utiliser ls connaissances sur ls cercles, les tangentes, le calcul trigonométrique. | |
| Angle inscrit | Comparer un angle inscrit et l'angle au centre qui intercepte le même arc. | On généralise le résultat relatif à l'angle droit, établi en classe de quatrième. Cette comparaison permet celle de deux angles inscrits interceptant le même arc, mmais la recherche de l'ensemble des points du plan d'où l'on voit un segment sous un angle donné, autre qu'un angle droit, est hors programme. | |
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Ecritures littérales :Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| identités remarquables | Factoriser des expressions telles que : (x + 1)(x + 2) - 5(x + 2) ; (2x + 1)^2 + (2x + 1)(x + 3). Connaître les égalités : (a + b)(a - b)=a^2 - b^2 (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales simples telles que 1012=(100 + 1)^2=1002+200+1 (x + 5)^2 - 4= (x+5+2)(x+5-2) | La reconnaissance de la forme d'une expression
algébrique faisant intervenir une identité
remarquable peut représenter une difficulté qui
doit être prise en compte. Les travaux
s'articuleront sur deux axes :
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Calculs élémentaires sur les radicaux (racines carrées).Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Racine carrée d'un nombre positif. | Savoir que , si a désigne un nombre positif, sqrt(a) est le nombre positif dont le carré est a. Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités : (sqrt(a))^2=a , sqrt(a^2)=a. Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x^2=a, où a désigne un nombre positif. | Le travail mentionné sur les identités remarquables permet d'écrire des égalités comme : (sqrt(2)-1)(sqrt(2)+1)=1, (1+sqrt(2))^2=3+2sqrt(2) | |
| Produit et quotient de deux radicaux. | Sur des exemples numériques, où a et b sont deux nombres positifs, utiliser les égalités : sqrt(ab)=sqrt(a)sqrt(b) sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b) | Ces résultats, que l'on peut facilement démontrer à partir de la définition de la racine carrée d'un nombre positif, permettent d'écrire des égalités telles que : sqrt(45)=3sqrt(5) sqrt(4/3)=2/sqrt(3), 1/sqrt(5)=sqrt(5)/5. On habituera ainsi les élèves à écrire un nombre sous la forme la mieux adaptée au problème posé. | |
Equations et inéquations du premier degré.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Ordre et multiplication | Utiliser le fait que des nombres relatifs de la forme ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif. | On pourra s'appuyer dans toute cette partie sur des activités déjà pratiquées dans les classes antérieures, notamment celles de tests par substitution de valeurs numériques à des lettres. | |
| Inéquation du premier degré à une inconnue. | Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques. Représenter ses solutions sur une droite graduée. | ||
| Système de deux équations à deux inconnues. | Résoudre algébriquement un système de deux équations du 1er degré à deux inconnues, admettant une solution et une seule ; en donner une interprétation graphique. | Pour l'interprétation graphique, on utilisera la représentation des fonctions affines. | |
| Résolutions de problèmes du premier degré ou s'y ramenant. | Résoudre une équation sous la forme A x B=0, où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable. Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation, une équation ou un système de deux équations du premier degré. | L'étude du signe d'un produit ou d'un quotient de deux expressions du premier degré de la même variable est, elle, hors programme. Les problèmes sont issus des différentes parties du programme. Comme en classe de quatrième, on dégagera à chaque fois les différentes étapes du travail : mise en équation, résolution de l'équation et interprétation du résultat. | |
ArithmétiqueTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Nombres entiers et rationnels. | Cette partie d'arithmétique permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves. |
réduction fractions | |
| Diviseurs communs à deux entiers. | Déterminer si deux entiers donnés sont premiers entre eux. Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible. | Depuis la classe de cinquième, les élèves ont pris l'habitude de simplifier les écritures fractionnaires : la factorisation du numérateur et du dénominateur se fait grâce aux critères de divisibilité et à la pratique du calcul mental. Reste à savoir si la fraction obtenue est irréductible ou non. On remarque que la somme et la différence de deux multiples d'un nombre entier sont eux-mêmes multiples de cet entier. On construit alors un algorithme, celui d'Euclide ou un autre, qui donnant le PGCD de deux nombres entiers, permet de répondre à la question dans tous les cas. Les activités proposées ne nécessitent donc pas le recours aux nombres premiers. Les tableurs et logiciels de calcul formel peuvent, sur ce sujet, être exploités avec profit. A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme sqrt(p) et sqrt(2) . On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de 2 . Une telle étude peut également mise à profit pour bien distinguer le calcul exact et le calcul approché. |
Paquets de crayons Entrepôt Coffre Parc rectangulaire Quizz nombres pgcd_Eucl calcul du pgcd par l'algorithme d'Euclide. |
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Fonction linéaire et fonction affineTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Fonction linéaire | Connaître la notation x->ax pour une valeur numérique de a fixée. | La définition d'une fonction linéaire, de coefficient a, s'appuie sur l'étude des situations de proportionnalité rencontrées dans les classes précédentes. On pourra recourir à des tableaux de proportionnalité et on mettra en évidence que le processus de correspondance est « je multiplie par a ». Pour des pourcentages d'augmentation ou de diminution, une mise en évidence similaire peut être faite ; par exemple, augmenter de 5% c'est multiplier par 1,05 et diminuer de 5% c'est multiplier par 0,95. |
Pourcentage Pourcentage II |
| Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image. | L'étude de la fonction linéaire est aussi une occasion d'utiliser la notion d'image. On introduira la notation x->ax pour la fonction. A propos de la notation des images f(2), f(-0,25),... , on remarquera que les parenthèses y ont un autre statut qu'en calcul algébrique. | fnct linéaire 1 fnct linéaire 2 graph-ant graph-fnct graph-img fnct-img-ant Prob-prop 1 Prob-prop 2 | |
| Représenter graphiquement une fonction linéaire. Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. | L'énoncé de Thalès permet de démontrer que la représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine ; cette droite a une équation de la forme y=ax. On interprétera graphiquement le nombre a, coefficient directeur de la droite. C'est une occasion de prendre conscience de l'existence de fonctions dont la représentation graphique n'est pas une droite (par exemple, en examinant comment varie l'aire d'un carré quand la longueur de son côté varie de 1 à 3). |
Fonctions linéaires/affines et droites fnct linéaire 1 fnct linéaire 2 graph-ant graph-fnct graph-img fnct-img-ant Prob-prop 1 Prob-prop 2 | |
| Fonction affine. Fonction affine et fonction linéaire associée. | Connaître la notation x->ax +b pour des valeurs numériques de a et b fixées. Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images. | Pour des valeurs de a et b numériquement fixées, le processus de correspondance sera aussi explicité sous la forme « je multiplie par a, puis j'ajoute b ». la représentation graphique de la fonction affine peut être obtenue par une translation à partir de celle de la fonction linéaire associée. C'est une droite qui a une équation de la forme y=ax+b. On interprétera graphiquement le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine ; on remarquera la proportionnalité des accroissements de x et de y. |
Image et antécédent Fonctions linéaire et affine Fonction affine ou linéaire ? Droite et cadran Droite animée Equation de droite affine parallèle Equation de droite affine Fonction linéaire 1 Itinéraire dans le plan |
| Représenter graphiquement une fonction affine. Lire sur la représentation graphique d'une fonction affine l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée. | Pour déterminer la fonction affine associée à une droite donnée dans un repère, on entraînera les élèves à travailler à partir de deux points pris sur la droite et à exploiter la représentation graphique. On fera remarquer qu'une fonction linéaire est une fonction affine. Des enregistrements graphiques ou des courbes représentatives de fonctions non affines peuvent servir de support à la construction de tableaux de valeurs ou à la recherche de particularités d'une fonction : coordonnées de points, sens de variation sur un intervalle donné, maximum, minimum. Aucune connaissance spécifique n'est exigible sur ce sujet. |
Fonctions linéaires/affines et droites | |
Proportionnalité et traitements usuels sur les grandeurs.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Applications de la proportionnalité | Dans des situations mettant en
jeu des grandeurs, l'une des
grandeurs étant fonction de
l'autre,
| En classe de troisième, il s'agit de compléter l'étude de la proportionnalité commencée de fait dès l'école. De nombreuses occasions sont données de conjecturer ou de reconnaître, puis d'utiliser la proportionnalité de valeurs ou d'accroissements dans les différents domaines et sections du programme. Les situations mettant en jeu les grandeurs restent privilégiées pour mettre en place et organiser les calculs faisant intervenir la proportionnalité, en particulier les pourcentages. Par exemple, au delà des compétences exigible, on pourra étudier les problèmes de mélange. | |
| Calculs d'aires et de volumes. | Calculer l'aire d'une sphère de rayon donné. | Le travail avec un formulaire qui n'exclut pas la mémorisation, permettra le réinvestissement et l'entretien d'acquis des années précédentes : aire des surfaces et volumes, des solides étudiées dans ces classes. Des activités de comparaison d'aires, d'une part, et de volume, d'autre part, seront autant d'occasions de manipulations de formules et de transformations d'expressions algébriques. Ce travail prend appui sur celui fait en géométrie dans l'espace. | |
| Effets d'une réduction ou d'un agrandissement sur des aires ou des volumes. | Connaître et utiliser le fait que, dans
un agrandissement ou une réduction
de rapport k,
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Statistique.Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Caractéristiques de position d'une série statistique | Une série statistique étant donnée (sous forme de liste ou de tableau, ou par une représentation graphique), proposer une valeur médiane de cette série et en donner la signification. | ||
| Grandeurs composées | Changements d'unités. quotients déjà rencontrées en classe de quatrième, les grandeurs composées les plus simples. On pourra remarquer que les aires et les volumes sont des grandeurs produits. D'autres grandeurs produits et grandeurs dérivées pourront être utilisées : passagers x km, kWh, F/kWh laissant progressivement la place à euro/kWh, ... En liaison avec les autres disciplines (physique, chimie, éducation civique), on attachera de l'importance à l'écriture correcte des symboles et à la signification des résultats numériques obtenus. | Il s'agit essentiellement d'une part, de faire acquérir aux élèves les premiers outils de comparaison de séries statistiques, d'autre part de les habituer à avoir une attitude de lecteur responsable face aux informations de nature statistique. On repère, en utilisant effectifs ou fréquences cumulées, à partir de quelle valeur du caractère on peut être assuré que la moitié de l'effectif est englobée. Les exemples ne devront soulever aucune difficulté au sujet de la détermination de la valeur de la médiane. |
Moyenne Moyennes et coefficients Effectifs et pourcentages Moyenne statistique Moyenne pondérée Angle et pourcentages Diagramme circulaire et pourcentages Statistique et pourcentages Répartition et fréquences Répartition et regroupement Séries statistiques : taille |
| Approche de caractéristiques de dispersion d'une série statistique | Une série statistique étant donnée, déterminer son étendue ou celle d'une partie donnée de cette série. | L'étude de séries statistiques ayant même moyenne permettra l'approche de la notion de dispersion avant toute introduction d'indice de dispersion. On introduira l'étendue de la série ou de la partie de la série obtenue après élimination de valeurs extrêmes. On pourra ainsi aborder la comparaison de deux séries en calculant quelques caractéristiques de position et de dispersion, ou en interprétant des représentations graphiques données. | |
| Initiation à l'utilisation de tableurs grapheurs en statistique. | Les tableurs que l'on peut utiliser sur tous les types d'ordinateurs permettent, notamment en liaison avec l'enseignement de la technologie, d'appliquer de manière rapide à des données statistiques les traitements étudiés. | ||