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Travaux géométriques

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Prismes droits, cylindres de révolution

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  Fabriquer un prisme droit dont la base est un triangle, ou un parallélogramme, de dimensions données. Fabriquer un cylindre de révolution dont la base est un cercle de rayon donné. Comme en 6e, l'objectif est d'entretenir et d'approfondir les acquis : représenter, décrire et construire des solides de l'espace, en particulier à l'aide de patrons. Passer de l'objet à ses représentations constitue encore l'essentiel du travail, lequel pourra être fait en liaison avec l'enseignement de la technologie.    
  Représenter à main levée ces deux solides. L'usage d'outils informatiques (logiciels de géométrie dans l'espace) peut se révéler utile pour une meilleure visualisation des différentes représentations d'un objet. Ces travaux permettront de consolider les images mentales déjà mises en place, relatives à des situations de parallélisme et d'orthogonalité.    
  Calculer le volume d'un prisme droit ; calculer son aire latérale à partir du périmètre de sa base et de sa hauteur. Calculer le volume et l'aire latérale d'un cylindre de révolution. Le parallélépipède rectangle, déjà rencontré en 6e, est un cas particulier de prisme droit. La formule de son volume est à présent une connaissance exigible.   

Dans le plan, transformation de figures par symétrie centrale ; parallélogramme

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     Dans un premier temps, l'effort portera sur un travail expérimental (pliage pour la symétrie axiale et papier calque pour le demi-tour), permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures simples. Les propriétés conservées par symétrie centrale seront ainsi progressivement dégagées, en comparant avec la symétrie axiale.    
Construction d'images et mise en évidence de conservations.  Construire le symétrique d'un point, d'un segment, d'une droite, d'une demi-droite, d'un cercle. La symétrie centrale n'a, à aucun moment, à être présentée comme application du plan dans lui-même. Suivant les cas, on mettra en évidence :
  • l'action sur une figure d'une symétrie centrale donnée,
  • la présence d'un centre de symétrie dans une figure (exemples : cercle, rectangle, carré, losange), c'est-à-dire l'existence d'une symétrie centrale la conservant.
Ces travaux conduiront à :
  • la construction de l'image d'un point, d'une figure simple,
  • l'énoncé et l'utilisation de propriétés caractéristiques du parallélogramme (on veillera à toujours formuler ces propriétés à l'aide d'énoncés séparés),
  • la caractérisation angulaire du parallélisme.
 		  
Parallélogramme. Connaître et utiliser une définition du parallélogramme et des propriétés relatives aux côtés, aux diagonales et aux angles. Relier les propriétés du parallélogramme à celles de la symétrie centrale. Calculer l'aire d'un parallélogramme.  Le travail entrepris sur le parallélogramme et la symétrie centrale aboutit ainsi à des énoncés précis que les élèves doivent connaître. Des séquences déductives pourront s'appuyer sur ces énoncés. L'aire du parallélogramme pourra être reliée à celle du rectangle.    
Caractérisation angulaire du parallélisme. Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante. Connaître et utiliser les expressions : angles adjacents, angles complémentaires, angles supplémentaires. On pourra utiliser également le vocabulaire suivant : angles opposés par le sommet, alternes-internes, correspondants.    
Figures simples ayant un centre de symétrie ou des axes de symétrie. Reproduire, sur papier quadrillé ou pointé et sur papier blanc, un parallélogramme donné (et notamment dans les cas particuliers du carré, du rectangle, du losange) en utilisant ses propriétés. Connaître et utiliser une définition et des propriétés (relatives aux côtés, aux diagonales, aux éléments de symétrie) du carré, du rectangle, du losange. Les problèmes de construction consolideront les connaissances relatives aux quadrilatères usuels. Ils permettront de mettre en oeuvre droites et cercles et de revenir sur la symétrie axiale et les axes de symétrie. On poursuit le travail sur la caractérisation des figures en veillant à toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.    

Triangle

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Somme des angles d'un triangle. Utiliser, dans une situation donnée, la somme des angles d'un triangle. Savoir l'appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle. La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. Exemple d'utilisation : trouver quels triangles isocèles ont un angle de 80 degrés.    
Somme des angles d'un triangle. Utiliser, dans une situation donnée, la somme des angles d'un triangle. Savoir l'appliquer aux cas particuliers du triangle équilatéral, d'un triangle rectangle, d'un triangle isocèle. La symétrie centrale ou la caractérisation angulaire du parallélisme qui en découle permettent de démontrer que la somme des angles d'un triangle est égale à 180 degrés. Exemple d'utilisation : trouver quels triangles isocèles ont un angle de 80 degrés.   
Construction de triangles et inégalité triangulaire. Construire un triangle connaissant :
  • la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
  • les longueurs de deux côtés etl 'angle compris entre ces deux côtés,
  • les longueurs des trois côtés. triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice ou à son milieu.
 		On remarquera, dans chaque cas où la construction est possible, que lorsqu'un côté est placé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice ou à son milieu. On rencontrera à ce propos l'inégalité triangulaire, AB + BC ³ AC dont l'énoncé sera admis. Le cas de l'égalité AB + BC = AC sera commenté et illustré.    
Aire d'un triangle. Calculer l'aire d'un triangle connaissant un côté et la hauteur associée. On pourra relier l'aire du triangle à celle du parallélogramme.   

Cercle

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Cercle circonscrit à un triangle.  Construire le cercle circonscrit à un triangle. La caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance a déjà été rencontrée en 6e. Elle permet de démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes et justifie la construction d'un cercle circonscrit à un triangle.   
Aire du disque. Calculer l'aire d'un disque de rayon donné. @commentaires   


Travaux numériques

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Enchaînement d'opérations sur les nombres entiers et décimaux positifs.

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Conventions de priorités entre opérations. Organiser, pour l'effectuer mentalement, avec papier-crayon ou à la calculatrice, une succession d'opérations au vu d'une écriture donnée, de la forme a+bc, a+b/c, a/(b+c), (a+b)/c, (a/(b/c)) uniquement sur des exemples où a, b, et c sont numériquement fixés.  L'acquisition des priorités opératoires est le préalable à plusieurs apprentissages : compréhension et mise en pratique de règles. Le fait que les calculatrices n'aient pas toutes les mêmes principes de fonctionnement est une occasion à saisir. En effet, l'activité consistant à répertorier leurs diverses modalités de fonctionnement, et à les mettre en oeuvre, est hautement formatrice. On n'oubliera pas de penser, pour éviter d'introduire plusieurs fois un même nombre, à recourir à une mémoire de la machine.  
Calculs
en particulier
Priorité et calcul
Règles de priorité
Multiplication d'entiers relatifs
Multiplication : quel est l'intrus ?
Opérations simples sur les relatifs
Opérations simples sur les relatifs 2
Règles de l'addition
Signe d'un produit
Transformation par multiplication  
  Ecrire une expression correspondant à une succession donnée d'opérations. Pour la lecture et l'écriture d'expressions, on pourra utiliser le vocabulaire : terme d'une somme, facteur d'un produit.    
Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. Connaître et utiliser les identités k (a + b) = ka + kb et k (a - b) = ka - kb dans les deux sens.  La distributivité est à connaître sous forme générale d'identité. La comparaison avec une formulation en français "« le produit d'un nombre par la somme de deux nombres est égal à la somme des produits du premier par chacun des deux autres »'' pourra être l'occasion de montrer un intérêt (en économie et précision) de l'écriture symbolique. On entraînera les élèves à la convention usuelle d'écriture bc pour b x c, 3a pour 3 x a. Les applications donnent lieu à deux types d'activités bien distinctes : le développement qui correspond au sens de lecture de l'identité indiquée, et la factorisation qui correspond à la lecture «inverse » ka + kb = k (a + b). Cette réversibilité se retrouve dans l'initiation à la résolution d'équations.   

Nombres en écriture fractionnaire

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Multiplication. Effectuer le produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire ou décimale, le cas d'entiers étant inclus. Ramener une division dont le diviseur est décimal à une division dont le diviseur est entier.   Toutes les activités numériques fourniront des occasions de pratiquer le calcul mental et d'utiliser une calculatrice. Plusieurs objectifs sont visés, en particulier développer la capacité à:
  • prévoir des ordres de grandeur,
  • opérer en conservant l'écriture fractionnaire,
  • utiliser le vocabulaire approprié (terme, facteur, numérateur, dénominateur),
  • contrôler des résultats par des calculs mentaux approchés.
 		  
Comparaison, addition et soustraction, les dénominateurs étant égaux ou multiples.  Comparer, additionner et soustraire deux nombres en écriture fractionnaire dans le cas où les dénominateurs sont les mêmes et dans le cas où le dénominateur de l'un est un multiple du dénominateur de l'autre.  La classe de 5e s'inscrit, pour le calcul avec des écritures fractionnaires, dans un processus prévu sur toute la durée du collège. En 6e, le produit et la somme de fractions n'ont été envisagés qu'à propos de nombres décimaux. La simplification y a été abordée et pourra donc être utilisée en 5e ; ce sera l'occasion d'obtenir des fractions irréductibles mais aucune compétence n'est exigible à ce sujet. La systématisation de la réduction au même dénominateur est traitée en 4e. 
Fractions I
Fractions II
Fractions III
Addition de fractions  

Nombres relatifs en écriture décimale

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  Ranger, soit dans l'ordre croissant, soit dans l'ordre décroissant, des nombres relatifs courants en écriture décimale. Effectuer la somme de deux nombres relatifs dans les différents cas de signes qui peuvent se présenter. Transformer une soustraction en une addition, comme dans l'exemple : ' 3,7 ' (' 4,3) = ' 3,7 + 4,3 = 0,6. Calculer, sur des exemples numériques, une expression où interviennent uniquement les signes +, ' et éventuellement des parenthèses. Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs. Les activités partiront de l'expérience acquise en 6e et pourront s'appuyer sur des interprétations graphiques. Elles mettront en place les techniques opératoires concernant l'addition et la soustraction ; on entraînera les élèves à organiser et gérer un programme de calcul mettant en jeu des additions et des soustractions avec ou sans calculatrice. A cette occasion, on observera que soustraire un nombre, c'est ajouter son opposé.   

Initiation à la résolution d'équations

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  Trouver, dans des situations numériques simples, le nombre par lequel diviser un nombre donné pour obtenir un résultat donné.  Le travail sur cette compétence étend au cas de la division l'initiation à la résolution d'équations, entreprise en 6e. Désigner par une lettre le nombre inconnu peut ici se révéler pertinent.   
  Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu'on leur attribue des valeurs numériques données.  Les programmes prévoient une initiation très progressive à la résolution d'équations, de manière à éviter l'écueil connu d'apprentissages aboutissant à la mise en oeuvre d'algorithmes dépourvus de véritable sens. La classe de 5e correspond à une étape importante dans l'acquisition du sens, avec la présentation d'égalités vues comme des assertions dont la vérité est à examiner. Par exemple, dans l'étude d'une situation conduisant à une égalité telle que 3y = 4x + 2, on sera amené à en tester la véracité pour diverses valeurs de x et y. Les expressions qui figurent de part et d'autre du signe d'égalité jouent ici le même rôle. On travaillera aussi avec des inégalités dans des cas simples, sans pour autant que cette activité donne lieu à des compétences exigibles.   


Organisation et gestion de données, fonctions

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Activités graphiques

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Repérage sur une droite graduée. Repérage dans le plan.   Sur une droite graduée :
  • lire l'abscisse d'un point donné,
  • placer un point d'abscisse donnée,
  • déterminer la distance de deux points d'abscisses données.
Dans le plan muni d'un repère :
  • lire les coordonnées d'un point donné,
  • placer un point de coordonnées données,
    • Connaître et utiliser le vocabulaire : coordonnées, abscisse, ordonnée.  
Les activités graphiques conduiront :
  • à enrichir la correspondance entre nombres et points d'une droite déjà graduée à l'aide de nombres entiers, en développant l'usage des nombres décimaux relatifs,
  • à interpréter l'abscisse d'un point d'une droite graduée en termes de distance et de position par rapport à l'origine ; en particulier, le cas où l'origine est le milieu de deux points donnés mérite de retenir l'attention,
  • à relier la distance de deux points sur un axe et la soustraction des nombres relatifs,
  • à situer les points du plan muni d'un repère orthogonal.
 

Chronologie et nombres relatifs placer des dates historiques sur une droite graduée

Les nombres relatifs (activité graphique) placer des points sur une droite ou un plan.  

Exemples de fonctions.

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Proportionnalité Reconnaître, s'il y a lieu, la proportionnalité sur un tableau complet de nombres. Toute définition de la notion de fonction sera évitée, mais des expressions telles que « en fonction de», «est fonction de »seront utilisées. On pourra notamment constituer un tableau des abscisses et ordonnées de points d'une droite passant par l'origine dans le plan muni d'un repère.  

Tableau de proportionnalité

Tableau de proportionnalité II

Tableau de proportion  
  Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité dont le données sont fournies partiellement. En particulier, déterminer une quatrième proportionnelle. Mettre en oeuvre la proportionnalité dans les cas suivants :
  • utiliser des unités combinant le système décimal et le système sexagésimal (mesure du temps),
  • calculer et utiliser l'échelle d'une carte ou d'un dessin,
  • reconnaître un mouvement uniforme à la proportionnalité entre temps et distance parcourue ; utiliser cette proportionnalité,
  • calculer un pourcentage, un coefficient de proportionnalité,
  • effectuer pour des volumes des
 		Les élèves retiendront que dans une relation de proportionnalité, la correspondance est déterminée par un couple de valeurs homologues non nulles. Les activités numériques et graphiques pourront se référer à l'un ou l'autre thème exploitant des formules, notamment de longueur, d'aire et de volume. Ainsi, on pourra envisager des variations :
  • de l'aire d'un triangle ou d'un parallélogramme, de celle d'un disque,
  • ' de la longueur d'un arc de cercle, de l'aire d'un secteur circulaire,
  • du volume ou de l'aire latérale d'un cylindre ou d'un prisme droit, en fonction d'une variable de la formule, toute autre variable étant fixée.
 		  

Relevés statistiques.

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Lecture, interprétation, représentations graphiques de séries statistiques. Classes, effectifs. Fréquences. Lire et interpréter un tableau, un diagramme à barres, un diagramme circulaire ou semicirculaire. Regrouper des données statistiques en classes, calculer des effectifs. Présenter une série statistique sous la forme d'un tableau, la représenter sous la forme d'un diagramme ou d'un graphique.   Il importe d'entraîner les élèves à lire et à représenter des données statistiques en utilisant un vocabulaire adéquat. Le calcul d'effectifs cumulés n'est pas une compétence exigible mais il pourra être entrepris, en liaison avec les autres disciplines dans des situations où les résultats auront une interprétation. Le choix de la représentation est lié à la nature de la situation étudiée.   
Fréquences Calculer des fréquences.  La notion de fréquence est notamment utilisée pour comparer des populations d'effectifs différents, et faire le lien avec la proportionnalité. Les écritures 4/10, 2/5, 0,4 (ou en notation anglo-saxonne 0.4 ou.4), 40 %, qui peuvent être utilisées pour désigner une fréquence, permettent d'insister sur les diverses représentations d'un même nombre.