| Contenu | Modalités | Commentaires | Exos WIMS |
|---|---|---|---|
Tableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| |||
| Langage de la continuité. | On se limitera à une approche intuitive et on admettra que les fonctions usuelles sont continues par intervalle. On examinera graphiquement, à titre de contre-exemple, la fonction partie entière. | La propriété des valeurs intermédiaires sera présentée graphiquement ; on conviendra, dans les tableaux de variation, que les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré. On allègera ainsi la rédaction des problèmes de recherche de solution approchée des équations du type : f(x) =y. | Etude de tableaux de variation
TVF1 TVF2 TVF3 continuité |
| Limites : opérations, composition, comparaison. | On interprétera des inégalités du type : f(x) < = g(x) ou u(x) < = f(x) < = v(x) lorsque les limites de g, u et v permettent d'en déduire la limite de f. Pour les limites à l'infini des fonctions polynômes et rationnelles, on énoncera et on utilisera les règles opératoires sur les termes de plus haut degré. | On complétera les résultats énoncés en classe de première et on en restera à une justification intuitive. |
Limites fractions rationnelles |
| Primitives d'une fonction sur un intervalle. Définition. Théorème : « Deux primitives d'une fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante ». | On déterminera les primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. | On ne soulèvera aucune difficulté sur l'existence des primitives des fonctions usuelles. |
Intégration de base |
| Fonctions logarithme népérien et exponentielle. Propriétés caractéristiques. Dérivée. Comportement asymptotique. Représentation graphique. | On utilisera les notations habituelles : ln x, nombre e, notation e^x. On pourra mentionner la fonction logarithme décimal. On fera le lien avec les suites géométriques caractérisées par une croissance relative constante. | Le mode d'introduction de ces fonctions n'est pas imposé. L'existence et la dérivabilité sont admises. Dans le cadre de résolution de problèmes liés à l'économie, on introduira l'accroissement moyen (f(b) - f(a))/(b - a) de f entre a et b et l'accroissement relatif (f(b) - f(a))/f(a). | |
| Définition de a^b (a > 0 et b réel). | On s'intéressera au cas b = l/n, avec n in N*, et à des problèmes menant au calcul de la moyenne géometrique de nombres réels positifs. | ||
| Fonctions : x -> a^x. | On fera le lien avec les suites géométriques étudiées en classe de première et on expliquera ainsi l'expression « croissance ou décroissance exponentielle ». On s'appuiera sur des représentations graphiques pour illustrer les rapidités de croissance. | On pourra, pour certaines suites ou fonctions tendant vers + infini ou 0, illustrer la rapidité de la croissance ou de la convergence par le temps de doublement ou de diminution de moitié. | |
| Croissances comparées. | On positionnera, à l'aide d'un grapheur, les courbes représentatives x -> e^x et de x -> lnx par rapport à celles des fonctions x -> x^n. On établira la limite en + infini de e^x/x et de ln(x)/x ; on en déduira la limite en -infini de xe^x. On aboutira aux règles opératoires : " a l'infini, l'exponentielle de x l'emporte sur toute puissance de x " et " les puissances de x l'emportent sur le logarithme de x ". | On pourra aborder lors de l'étude de problèmes des fonctions du type x -> x^a (avec a réel) ; l'étude générale de ces fonctions est hors programme. | |
| Composition des fonctions. | On reconnaîtra la composée de fonctions dans des cas simples et, lorsque les fonctions mobilisées sont monotones, on en déduira le sens de variation. | Les exemples vus en première seront enrichis avec l'utilisation des fonctions exponentielle et logarithme népérien. | |
| Dérivation de la composée de deux fonctions. Formule (v(u))' = v'(u)u' | On illustrera avec les exemples suivants : ln u, exp u, un. | Lors de résolutions de problèmes en lien avec l'économie, on introduira la notion de coût total et de coût marginal. | |
| |||
| Aire sous la courbe représentative d'une fonction positive. Définition de l'intégrale à partir d'une primitive de la fonction. Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle. | On approchera la notion d'intégrale par l'aire sous une courbe en escalier puis, sur des exemples simples, on conjecturera le lien entre l'aire sous la courbe et les primitives de la fonction. On proposera des situations où l'intégrale est une grandeur, un coût (impôts, etc.). | On ne soulève aucune difficulté sur les hypothèses de continuité et on s'appuiera sur une conception intuitive de la notion d'aire dans des situations "régulieres". En lien avec l'économie, on mentionnera le problème des unites : si x et y sont deux grandeurs liées par une relation y = f(x), l'integrale int_a^b f(x)dx est une grandeur homogène au produit des grandeurs xy tandis que la valeur moyenne est homogène à y. |
Calcul intégral |
| Propriétés de l'intégrale : linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. | Il convient d'interpréter les différentes propriétés en terme d'aire sous la courbe pour les fonctions positives. | ||
| |||
| Nuage de points associé à une série statistique à deux variables numériques. Point moyen. | On proposera aussi des exemples où la représentation directe en (x ; y) n'est pas possible et où il convient, par exemple, de représenter (x ; ln y) ou (ln x ; y) et on fera le lien avec des repères semi-logarithmiques. | ||
| Ajustement affine par moindres carrés. | On fera percevoir le sens de l'expression " moindres carres " par le calcul sur tableur, pour un exemple simple, de la somme sum (yi - axi - b)^2. On évoquera sur des exemples l'intérêt eventuel et l'effet d'une transformation affine des données sur les paramètres a et b. On étudiera avec des simulations la sensibilité des paramètres aux valeurs extrêmes. On proposera des exemples où une transformation des données conduit à proposer un ajustement affine sur les données transformées. On proposera un ou deux exemples ou les points (x_i ; y_i) du nuage sont " presque " alignés et où cet alignement peut s'expliquer par la dépendance " presque " affine à une troisième variable. | L'objectif est de faire des interpolations ou des extrapolations. On admettra les formules donnant les paramètres de la droite des moindres carrés : coefficient directeur et ordonnée à l'origine. On traitera essentiellement des cas où, pour une valeur de x, on observe une seule valeur de y (par exemple, les séries chronologiques). Le coefficient de corrélation linéaire est hors programme (son interprétation est délicate, notamment pour juger de la qualité d'un ajustement affine). On verra ainsi que pouvoir prédire y à partir de x ne prouve pas qu'il y ait un lien de causalité entre x et y. | |
| Simulation. | On étudiera un exemple traitant de l'adéquation de données expérimentales à une loi équirépartie. | L'élève devra être capable de poser le problème de l'adéquation à une loi équirépartie et de se reporter aux résultats de simulation qu'on lui fournira. Le vocabulaire des tests (hypothèse nulle, risque de première espèce) est hors programme. | |
| Conditionnement et indépendance. | On justifiera la définition de la probabilité B sachant A, notée P_A(B), par des calculs fréquentiels. On utilisera à bon escient les représentations telles que tableaux, arbres, diagrammes, etc., efficaces pour résoudre des problèmes de probabilités. | Un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve. | |
| Conditionnement par un évènement de probabilité non nulle puis indépendance de deux événements. | |||
| Formule des probabilités totales. | On appliquera entre autre cette formule à la problématique des tests de dépistage. | Les élèves doivent savoir appliquer la formule des probabilités totales sans aide dans des cas simples. | |
| Modélisation d'expériences indépendantes. Cas de la répétition d'expériences identiques et indépendantes. | On retravaillera les expériences de références vues en seconde et première (dés, pièces, urnes, etc.). | On conviendra, en conformité avec l'intuition, que pour des expériences indépendantes, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. | |
| Lois de probabilités discrètes. | Les situations abordées à ce niveau ne nécessitent pas le langage formalisé des variables aléatoires ; ces dernières ne figurent pas au programme. | ||
| Espérance et variance d'une loi numérique. | À l'aide de simulations et de la loi des grands nombres, on fera le lien avec moyenne et variance d'une série de données. | ||
| Expérience et lois de Bernoulli. Lois binomiales. | On se limitera pour les calculs sur ces lois à des petites valeurs de n (n < 5) ; on pourra utiliser des arbres. | On donnera des exemples variés où interviennent des lois de Bernoulli et des lois binomiales. | |
| |||
Résolution de problèmes à l'aide de graphesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
Résolution de problèmes conduisant
à la modélisation d'une situation
par un graphe orienté ou non,
éventuellement étiqueté ou pondéré
et dont la solution est associée :
| Les problèmes proposés mettront en jeu des graphes simples, la résolution pouvant le plus souvent être faite sans recours à des algorithmes. On indiquera que pour des graphes complexes, des algorithmes de résolutions de certains problèmes de graphes sont absolument nécessaires. On présentera un algorithme simple de coloriage des graphes et un algorithme de plus courte chaîne. | Il s'agit d'un enseignement entièrement fondé sur la résolution de problèmes. L'objectif est de savoir modéliser des situations par des graphes et d'identifier en terme de propriétés la question à résoudre. Ces algorithmes seront présentés dans les documents d'accompagnement et on restera très modeste quant à leurs conditions de mise en oeuvre. | |
| Vocabulaire élémentaire des graphes : sommets, sommets adjacents, arêtes, degré d'un sommet, ordre d'un graphe, chaîne, longueur d'une chaîne, graphe complet, sous-graphe stable, graphe connexe, distance entre deux sommets, diamètre, nombre chromatique, chaîne eulérienne, matrice associée à un graphe, matrice de transition pour un graphe pondéré par des probabilités. | Les termes seront introduits à l'occasion de résolution de problèmes et ne feront pas l'objet d'une définition formelle, sauf lorsque cette définition est simple et courte (degré d'un sommet, ordre d'un graphe par exemple). | Les élèves devront savoir utiliser à bon escient le vocabulaire élémentaire des graphes, vocabulaire qui sera réduit au minimum nécessaire à la résolution des problèmes constituant l'enseignement de cette partie. | |
Résultats élémentaires sur les graphes :
| On pourra, dans des cas élémentaires, interpréter les termes de la puissance nème de la matrice associée à un graphe. | ||
Compléments sur les suitesTableau indicatif, sans garantie de conformité au programme officiel | |||
| Suites monotones, majorées, minorées, bornées.Suites convergentes. | On choisira des exemples permettant d'introduire le vocabulaire usuel des suites. On s'appuiera sur un traitement tant numérique (avec outils de calcul : calculatrice ou ordinateur) que graphique ou algébrique. On fera comprendre, sans en donner de définition formelle, les notions de suite convergente et de suite tendant vers +infini ou -infini ; on étudiera ainsi le comportement asymptotique des suites géométriques et des suites arithmétiques ainsi que des sommes partielles de ces suites. | On gardera en terminale la démarche expérimentale adoptée en première pour les suites, en particulier pour aborder la notion de convergence. On évitera tout formalisme inutile, sans pour autant sacrifier la rigueur du raisonnement ; on utilisera le raisonnement par récurrence dans les situations où il est nécessaire. On pourra, utiliser les règles opératoires sur les limites vues en classe de première pour les fonctions. On s'appuiera sur la calculatrice ou une représentation graphique adaptée pour conjecturer le comportement global ou asymptotique de chacune des suites étudiées. | |
| On introduira quelques exemples de suites finies, dont on demandera un ou plusieurs prolongements 'logiques' (c'est-à-dire définis par une relation du type un+1 = f(u_n), ou du type u_n = f(n)). | On soulignera l'entraînement au raisonnement inductif et la mise en jeu des capacités d'invention que la recherche de tels exemples implique. | ||
| Exemples de suites vérifiant une relation de récurrence du type u_(n+2) = a u_(n+1) + b u_n. | Sur des exemples, on étudiera le comportement global et asymptotique des suites de ce type ; le cas échéant, on introduira la suite géométrique associée. | On illustrera l'étude de ces suites à l'aide de représentations graphiques. | |
| |||
| Exemples de problèmes mettant en jeu des équations de plans ou de droites de l'espace. | L'objectif de ce paragraphe est de poursuivre en terminale le travail commencé en première sur ce thème. On admettra comme en classe de première que pour (a,b,c) différent de (0,0,0), ax+by+cz+d = 0 est l'équation d'un plan. | ||
| Représentation et lecture de courbes de niveau. | On travaillera des exemples simples utilisant des fonctions de deux variables construites à partir des différentes fonctions étudiées en première et terminale. On utilisera des logiciels pour visualiser les surfaces et les courbes de niveau apparaîtront comme des sections de ces surfaces par des plans parallèles à l'un des trois plans de base. | En les projetant sur un plan de coordonnées, on pourra associer les courbes de niveau à l'étude de familles de fonctions à une variable dépendant d'un paramètre (isoquants, isocoûts,...); on exploitera en particulier des fonctions fréquemment utilisées en économie. | |
| Exemples d'optimisation de fonctions à deux variables sous contrainte linéaire. | En écrivant la contrainte sous la forme y = mx+p ou x = m'y+p', on recherchera des extrema d'une nouvelle fonction ne dépendant que d'une variable. | ||