RIFFORD, Ludovic - Université Lyon I, Inst. G. Desargues, 43 bld du 11 novembre 1918, 69622 Villeurbanne cedex
TRELAT, Emmanuel - Analyse Numérique et E.D.P., Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay cedex
| Soit $(M,\Delta,g)$ une variété sous-Riemannienne et xo \in M. En supposant que la condition de Chow est satisfaite et que M munie de la distance sous-Riemannienne est complète, on montre qu'il existe un sous-ensemble dense N1 de M tel que, pour tout point x de N1, il y a un unique chemin minimisant menant de xo à x, ce chemin admettant un relèvement normal. Si la distribution $\Delta$ est partout de corang un, on montre l'existence d'un sous-ensemble N2 de M de mesure de Lebesgue pleine tel que, pour tout point x de N2, il existe un chemin minimisant menant de xo à x qui admet un relèvement normal, est non singulier, et le point x n'est pas conjugué à xo. En particulier, l'image de l'exponentielle sous-Riemannienne est dense dans M, et dans le cas de corang un est de mesure de Lebesgue pleine dans M. |
Abstract :
| Let $(M,\Delta,g)$ be a sub-Riemannian manifold and xo \in M. Assuming that Chow's condition holds and that M endowed with the sub-Riemannian distance is complete, we prove that there exists a dense subset N1 of M such that for every point x of N1, there is a unique minimizing path steering xo to x, this trajectory admitting a normal extremal lift. If the distribution $\Delta$ is everywhere of corank one, we prove the existence of a subset N2 of M of full Lebesgue measure such that for every point x of N2, there exists a minimizing path steering xo to x which admits a normal extremal lift, is nonsingular, and the point x is not conjugate to xo. In particular, the image of the sub-Riemannian exponential mapping is dense in M, and in the case of corank one is of full Lebesgue measure in M. |
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